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    수학이 알고싶은 중고대딩들을 위한 수학 노트

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가우시안 적분

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이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요

  • 가우시안 적분(Gaussian integral)

    \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}

    \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}

    \int_{-\infty}^{\infty}e^{-a\frac{ x^2}{2}}dx=\sqrt{\frac{2\pi}{a}}

    \int_{-\infty}^{\infty}e^{a i \frac{ x^2}{2}}dx=\sqrt{\frac{2\pi i }{a}}

 

 

극좌표 치환을 이용한 계산

 \int\int_{\mathbb{R}^2}e^{-x^2-y^2}dA

\int\int_{\mathbb{R}^2}e^{-x^2-y^2}dA= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}rdrd\theta=2\pi\int_{0}^{\infty}re^{-r^2}dr=2\pi[-\frac{1}{2}e^{r^2}]_{0}^{\infty}=\pi

 

극좌표 치환이 사용되었다.

 

\int\int_{\mathbb{R}^2}e^{-x^2-y^2}dA= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2-y^2}dxdy=(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx)(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}dy)=(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx)^2

 

\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx =\sqrt{\pi}

x=\frac{t}{\sqrt{2}} 로 치환하면,  \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi} 을 얻는다

 

 

감마함수와의 관계

  • 감마함수를 이용하여 가우시안 적분을 표현할 수 있다

    \Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}

    2\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}dx= \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx =\sqrt{\pi}

    x=\sqrt{t}로 치환하면,

    2\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}dx= \int_0^\infty e^{-t} \ t^{-1/2} dt \, = \, \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)

    를 얻는다. 따라서

    \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}

  • 더 일반적으로, 다음이 성립한다. 

    \int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-x^2}dx=\frac{1}{2}\Gamma(\frac{n+1}{2})

    \int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-x^m}dx=\frac{1}{m}\Gamma(\frac{n+1}{m})

 

 

역사

 

 

 

재미있는 사실

S. P. Thompson: "Once when lecturing in class he [the Lord Kelvin] used the word 'mathematician' and then interrupting himself asked his class: 'Do you know what a mathematician is?' Stepping to his blackboard he wrote upon it: integral from - infinty to + infinity of exp(-x^2)dx = sqrt(pi). Then putting his finger on what he had written, he turned to his class and said, 'a mathematician is one to whom that is as obvious as that twice two makes four is to you.'" [TLWT]

http://zapatopi.net/kelvin/quotes/#math

 

 

메모

함수 e^{-x^2} 는 정규분포함수에도 등장한다.

평균이 \mu 이고 분산이 \sigma^2 인 정규분포를 따르는 확률변수의 확률밀도함수는 f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} 와 같이 쓸 수 있다.

계수에서 등장하는 \sqrt{2\pi} 는, 확률밀도함수의 정규화(전사건의 확률이 1이 되도록 해 주는 것)를 위한 것이다. 즉, e^{- \frac{x^2}{2\sigma^2}} 를 실수 전체에서 적분하면 \sqrt{2\pi}\sigma 가 된다.

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

 

사전 형태의 자료

 

 

관련논문
  • http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
  • http://dx.doi.org/

 

 

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