derangement

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derangement

개요

고정점을 갖지 않는 순열의 개수(number of permutations of n points without fixed points)
n명의 사람이 있고, 그들의 이름이 써진 명찰 n개가 있다. 명찰을 랜덤하게 나눠줬을 때, 단 한 사람도 자기 명찰을 받지 않는 경우의 수
목욕탕에 n명의 사람이 있다. 몇 사람씩 그룹을 만들어 동그랗게 서서, 서로 등을 밀어주는 경우의 수 은 얼마인가? 혼자서 자기 등을 밀 수는 없다.
이 수열 에는 (arrangement의 반대 개념으로) derangement 라는 이름이 붙어 있음

$D_0=1,D_1=0,D_2=1,D_3=2,D_4=9,D_5=44,D_6=265,\cdots$
일반항

$D_n = n! \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k!}$

의 경우

예를 들어 1,2,3,4 네 사람이 있는 경우를 생각해 보자. 말을 줄이기 위해, 기호를 하나 정의한다. (abc…d) 라는 것은 a는 b의 등을 밀고, b는 c의 등을 밀고, … , d는 a의 등을 미는 것을 뜻한다. 1,2,3,4 네 명이서 서로 등을 밀어 주는 경우의 수는 다음과 같이 셀 수 있다.

(1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432), (12)(34), (13)(24), (14)(23)

따라서 모두 9가지 경우가 있다. 즉 D_4=9

점화식

$D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})$
$D_n-nD_{n-1}=-(D_{n-1}-(n-1)D_{n-2})$
$D_n-nD_{n-1}=(-1)^n$

생성함수

지수생성함수는 다음과 같다

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{D_n}{n!}x^n=\frac{e^{-x}}{1-x}$

(증명)

위에서 얻은 점화식을 사용하면,

$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{D_n-nD_{n-1}}{n!}x^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}x^n=e^{-x}$

좌변을 정리하면,

$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{D_n}{n!}x^n-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{nD_{n-1}}{n!}x^n=f(x)-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{D_{n-1}}{(n-1)!}x^n=f(x)-xf(x)$

따라서,

$f(x)=\frac{e^{-x}}{1-x}=(1+x+x^2+x^3+\cdots)(1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\cdots)$ ■

수열의 일반항

위에서 얻은 생성함수로부터 수열의 일반항을 구할 수 있다

$\frac{D_n}{n!}=1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots+(-1)^n\frac{1}{n!}$

$D_n = n! \sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k!}$