p진 감마함수(p-adic gamma function)

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간단한 소개

 

 

정의

자연수 n 에 대하여 다음과 같이 정의

\Gamma_p(n)=(-1)^n\prod_{(i,p)=1}^{n-1} i

이를 \mathbb{Z}_p로 연속함수로 확장하여, p-adic 감마함수를 얻음

 

 

기본적인 성질

x\in p\mathbb{Z}_p 일 때, \Gamma_p(x+1)=-\Gamma_p(x)

x\not \in p\mathbb{Z}_p 일 때, \Gamma_p(x+1)=-x\Gamma_p(x)

x \equiv y \pmod {p^r} 이면 \Gamma_p(x)\equiv \Gamma_p(y) \pmod {p^r}

p>3 이면 |\Gamma_p(x)-\Gamma_p(y)|_p \leq |x-y|_p

 

 

반사공식

p\neq 2이고, x\in \mathbb{Z}_p 에 대하여 다음 반사공식이 성립

\Gamma_p(x)\Gamma_p(1-x)=(-1)^{l(x)}

여기서 x\equiv l(x) \pmod p, l(x)\in \{1,2,\cdots, p\}

 

 

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