로바체프스키 함수

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로바체프스키 함수

개요

다이로그 함수(dilogarithm )의 변종으로 이해할 수 있다
로바체프스키 함수의 정의

$\Lambda(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin t| \,dt=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (2n\theta)}{n^2}$

로바체프스키 함수는 쌍곡기하학의 연구에서 등장하였으며, 3차원 쌍곡다양체의 부피를 표현하는데 유용하다
클라우센 함수(Clausen function) 와의 관계

$Cl_2(2\theta)=2\Lambda(\theta)$

dilogarithm 함수와의 관계

dilogarithm 함수는 복소수 에 대하여 다음과 같이 정의됨
$\operatorname{Li}_2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}$

$|z|\leq 1$ 에서 고르게 수렴하는 급수이므로, $|z|\leq 1$ 에서 연속
$z=e^{2i\theta}$ , $0 \leq \theta \leq \pi$ 일 때,

$\operatorname{Li}_2(e^{2i\theta})= \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{2in\theta}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos 2n\theta}{n^2}+i\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin 2n\theta}{n^2}$

$0 \leq \theta \leq \pi$ 일 때, $\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_2(e^{2i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin 2n\theta}{n^2}=2\Lambda(\theta)$

그래프

$\Lambda(\theta)$ 는 기함수이고, $\pi$ 를 주기로 가짐
$\theta=\pi/6+n\pi$ 일 때 최대값을 가진다

멱급수 전개

$0 < \theta <\pi$ 일 때,

$\Lambda(\theta)=\theta-\theta \log(2\theta)+2\theta\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|B_{2n}|}{2n}\frac{(2\theta)^{2n}}{(2n+1)!}$

$B_{2n}$ 은 베르누이 수

덧셈공식

$\Lambda(n\theta)=n\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{k\pi}{n})$

(증명)

$2\sin n\theta =\prod_{k=0}^{n-1}2\sin(\theta+\frac{k\pi}{n})$

절대값에 로그를 취하여 양변을 적분하면, 적당한 상수 C에 대하여,

$\frac{1}{n}\Lambda(n\theta)=\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{k\pi}{n})+C$

를 얻는다.

n=2 일때,

$\frac{1}{2}\Lambda(2\theta)=\Lambda(\theta)+\Lambda(\theta+\frac{\pi}{2})+C$

$\theta=\frac{\pi}{2}$ 이면,

$\frac{1}{2}\Lambda(\pi)=\Lambda(\frac{\pi}{2})+\Lambda(\pi})+C$

$\theta=0$ 이면,

$\frac{1}{2}\Lambda(0)=\Lambda(0)+\Lambda(\frac{\pi}{2})+C$

두 식으로부터

$\Lambda(\pi)=\Lambda(0})$ 을 얻는다.

한편, $\Lambda'(\theta)=- \ln |2\sin t|$ 는 $\pi$ 를 주기로 가지므로, $\Lambda(\theta)$ 역시 $\pi$ 를 주기로 갖는 함수가 된다.

$\frac{1}{n}\Lambda(n\theta)=\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{k\pi}{n})+C$ 에서 기함수의 성질을 이용하면, C=0 이 된다.

3차원 쌍곡기하학과의 관계

이면각이 $\alpha, \beta, \gamma$ 로 주어진 ideal tetrahedron 에 대하여, 다음이 성립
- $\alpha+\beta+\gamma=\pi$
- $\operatorname{Vol}(T)=\Lambda(\alpha)+\Lambda(\beta)+\Lambda(\gamma)$
이면각 (dihedral angles) 한 점에서 만나는 세 면이 각각 이루는 각

special values

$2\Lambda(\frac{\pi}{6})=Cl_2(\frac{\pi}{3})$ http://mathworld.wolfram.com/GiesekingsConstant.html

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