로바체프스키 함수

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개요

 

 

dilogarithm 함수와의 관계

 

0 \leq \theta \leq \pi 일 때, \mathfrak{I}(\operatorname{Li}_2(e^{2i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin 2n\theta}{n^2}=2\Lambda(\theta)

 

 

그래프

 

 

멱급수 전개

0 < \theta <\pi 일 때,

\Lambda(\theta)=\theta-\theta \log(2\theta)+2\theta\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|B_{2n}|}{2n}\frac{(2\theta)^{2n}}{(2n+1)!}

B_{2n}은 베르누이 수

 

 

덧셈공식

\Lambda(n\theta)=n\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{k\pi}{n})

(증명)

2\sin n\theta =\prod_{k=0}^{n-1}2\sin(\theta+\frac{k\pi}{n})

절대값에 로그를 취하여 양변을 적분하면, 적당한 상수 C에 대하여,

\frac{1}{n}\Lambda(n\theta)=\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{k\pi}{n})+C

를 얻는다.

n=2 일때,

\frac{1}{2}\Lambda(2\theta)=\Lambda(\theta)+\Lambda(\theta+\frac{\pi}{2})+C

\theta=\frac{\pi}{2} 이면,

\frac{1}{2}\Lambda(\pi)=\Lambda(\frac{\pi}{2})+\Lambda(\pi})+C

\theta=0 이면,

 

\frac{1}{2}\Lambda(0)=\Lambda(0)+\Lambda(\frac{\pi}{2})+C

두 식으로부터

\Lambda(\pi)=\Lambda(0})을 얻는다.

한편,  \Lambda'(\theta)=- \ln |2\sin t| 는 \pi 를 주기로 가지므로, \Lambda(\theta) 역시 \pi를 주기로 갖는 함수가 된다.

\frac{1}{n}\Lambda(n\theta)=\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{k\pi}{n})+C 에서 기함수의 성질을 이용하면, C=0이 된다.

 

 

3차원 쌍곡기하학과의 관계

 

 

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