블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)

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Bloch-Wigner dilogarithm

개요

다이로그 함수(dilogarithm)

$\operatorname{Li}_2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt$ for $z\in \mathbb C-[1,\infty)$
다이로그 함수의 변종으로 블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)를 다음과 같이 정의함

$D(z)=\text{Im}(\operatorname{Li}_2(z))+\log|z|\arg(1-z)$ , $z\in\mathbb{C}$
복소평면에서 정의된 실수값을 갖는 연속함수
복소평면의 0과 1을 제외한 모든 점에서 real analytic
대수적 K-이론에서 수체의 K_3 군을 실벡터 공간으로 보내는 regulator map을 구성하는데 활용됨
다이로그 함수의 허수부에 대해서는 로바체프스키와 클라우센 함수 항목 참조

그래프와 등고선

복소평면에서 정의된 실수값을 갖는 연속함수
다음과 같은 등고선을 얻는다

항등식

$D(z)=D(1-\frac{1}{z})=D(\frac{1}{1-z})=-D(\frac{1}{z})=-D(1-z)=-D(\frac{z}{z-1})$

Dilogarithm 함수가 만족시키는 공식을 깔끔하게 함

$\mbox{Li}_2(x)$ , $\mbox{Li}_2 \left(\frac{1}{1-x}\right)$ , $\mbox{Li}_2 \left(1- \frac{1}{x} \right)$ , $-\mbox{Li}_2 \left( \frac{1}{x} \right)$ , $-\mbox{Li}_2 \left(1-x \right)$ , $-\mbox{Li}_2 \left( \frac{x}{x-1} \right)$

five-term relation

$D(x)+D(y)+D\left( \frac{1-x}{1-xy} \right)+D(1-xy)+D\left( \frac{1-y}{1-xy} \right)=0$

Dilogarithm 함수의 경우

$\mbox{Li}_2(x)+\mbox{Li}_2(y)+\mbox{Li}_2 \left( \frac{1-x}{1-xy} \right)+\mbox{Li}_2(1-xy)+\mbox{Li}_2 \left( \frac{1-y}{1-xy} \right)=\frac{\pi^2}{2}-\log(x)\log(1-x)-\log(y)\log(1-y)+\log (\frac{1-x}{1-xy})\log (\frac{1-y}{1-xy})$

데데킨트 제타함수와의 관계

에서의 값

복소이차수체의 데데킨트 제타함수

$\zeta_{K}(2)=\frac{\pi^2}{6\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_k)=1} (\frac{d_K}{a})D(e^{2\pi ia/|d_k|})$

$\zeta_{\mathbb{Q}\sqrt{-7}}(2)=\frac{\pi^2}{3\sqrt{7}}(D(e^{2\pi i/7})+D(e^{4\pi i/7})-D(e^{6\pi i/7}))$

역사

수학사연표

메모

수학용어번역

단어사전
- http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
- http://ko.wiktionary.org/wiki/
발음사전 http://www.forvo.com/search/bloch
대한수학회 수학 학술 용어집
- http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
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사전 형태의 자료

http://ko.wikipedia.org/wiki/
http://en.wikipedia.org/wiki/
http://www.wolframalpha.com/input/?i=
NIST Digital Library of Mathematical Functions
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=