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자연수의 약수의 합

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이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요

 

 

성질
  • 서로 소인 자연수 m,n 에 대하여, \sigma(mn)=\sigma(m)\sigma(n)
  • 소수 p 에 대하여,  \sigma(p^{k}) = \frac{p^{k+1}-1}{p-1}

 

 

점화식

(정리)

\sigma(k)은 다음 공식을 만족한다.

k가 오각수가 아닌 경우

\sigma(k) =\sigma(k-1) + \sigma(k-2)-\sigma(k-5)-\sigma(k-7)+\sigma(k-12)+\sigma(k-15)-\sigma(k-22)+\cdots

k가 오각수 즉 k=\frac{j(3j\pm 1)}{2} 꼴로 주어진 경우

\sigma(k) + (-1)^{j}k =\sigma(k-1) + \sigma(k-2)-\sigma(k-5)-\sigma(k-7)+\sigma(k-12)+\sigma(k-15)-\sigma(k-22)+\cdots

 

(증명)

생성함수를 다음과 같이 두자.

A(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\sigma(n)x^n

\sum_{m=1}^{\infty}\frac{mq^m}{1-q^m}=\sum_{m=1}^{\infty}{mq^m}(1+q^m+q^{2m}+\cdots)=\sum_{n=1}^{\infty}\sigma(n)q^n 이므로 A(x)=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{mx^{m}}{1-x^{m}}임을 알 수 있다.

이제 오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem)를 활용하자.

f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^{n}x^{n(3n-1)/2}=\prod_{m=1}^\infty (1-x^m)

위의 우변에 로그미분을 취한 다음 -x를 곱하면,

-x\frac{f'(x)}{f(x)}=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{mx^{m}}{1-x^{m}}=A(x)

따라서

A(x)f(x)=-xf'(x)를 얻는다. 

A(x)f(x)=(\sum_{n=1}^{\infty}\sigma(n)x^n)(1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots)  이므로

x^k의 계수는 \sigma(k)-(\sigma(k-1) + \sigma(k-2)-\sigma(k-5)-\sigma(k-7)+\sigma(k-12)+\sigma(k-15)-\sigma(k-22)+\cdots) 로 주어진다.

한편, 

-xf'(x)=\sum_{j=-\infty}^\infty (-1)^{j+1}\frac{j(3j-1)}{2}x^{j(3j-1)/2}  ■

 

  • 오각수가 아닌 경우의 예

    • \sigma(10)=18
    • \sigma(9) + \sigma(8)-\sigma(5)-\sigma(3)=13+15-6-4=18
    • \sigma(20)=42
    • \sigma(19) + \sigma(18)-\sigma(15)-\sigma(13)+\sigma(8)+\sigma(5)=20+39-24-14+15+6=42

  • 오각수인 경우의 예

    • \sigma(5)+5=6+5=11
    • \sigma(4) + \sigma(3)=7+4=11
    • \sigma(12)-12=28-12=16
    • \sigma(11) + \sigma(10)-\sigma(7)-\sigma(5)=12+18-8-6=16

  • 분할수의 점화식과의 유사성을 눈여겨볼 것

    p(k) =p(k-1) + p(k-2)-p(k-5)-p(k-7)+p(k-12)+p(k-15)-p(k-22)+\cdots

 

 

20까지 자연수의 약수의 합 목록
  • n과 \sigma(n)의 값

1    1
2    3
3    4
4    7
5    6
6    12
7    8
8    15
9    13
10    18
11    12
12    28
13    14
14    24
15    24
16    31
17    18
18    39
19    20
20    42

 

 

역사

 

 

메모

 

 

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관련논문

  • Recurrences for the Sum of Divisors

    • John A. Ewell, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 64, No. 2 (Jun., 1977), pp. 214-218
  • http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
  • http://dx.doi.org/

 

관련도서 및 추천도서

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