타원 모듈라 λ-함수

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타원 모듈라 λ-함수

개요

$\lambda(\tau)=k^2(\tau)$ 는 타원적분의 modulus라고 불리며, 아벨, 자코비와 후학들(에르미트)에 의해 많이 연구됨
- $k(\tau)$ 에 대해서는 타원적분의 singular value k 참조
가장 기본적인 모듈라함수로 여겨졌으나, 나중에 -불변량(타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant))에 그 자리를 내줌
level 2 인 congruence 모듈라 군(modular group) $\Gamma(2)$ 에 대한 모듈라 함수가 됨

$\Gamma(2) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbf{Z}) : \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \pmod{2} \right\}$

세타함수와의 관계

자코비 세타함수

$k=k(\tau)=\frac{\theta_2^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}$

$\lambda(\tau)=k^2(\tau)=\frac{\theta_2^4(\tau)}{\theta_3^4(\tau)}$

바이어슈트라스 타원함수와의 관계

바이어슈트라스의 타원함수

$\wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{z^2}+ \sum_{m^2+n^2 \ne 0} \left\{ \frac{1}{(z-m\omega_1-n\omega_2)^2}- \frac{1}{\left(m\omega_1+n\omega_2\right)^2} \right\}$

$\tau=\frac{\omega_2}{\omega_1}$ 로 두면, $\lambda(\tau)=\frac{e_3-e_2}{e_1-e_2}$

여기서

$e_1=\wp(\frac{\omega_1}{2};\omega_1,\omega_2)$

$e_2=\wp(\frac{\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)$

$e_3=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2};\omega_1,\omega_2)$
$e_1,e_2,e_3,\infty$ 네 점의 교차비로 이해할 수 있음
사영기하학과 교차비 항목 참조

$z_4=\infty$ 인 경우

$(z_1,z_2;z_3,\infty) = \frac{(z_1-z_3)}{(z_2-z_3)}$

모듈라군에 의한 변환

모듈라 군(modular group)에 의한 변환
생성원

$S=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ , $T=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
$T: \tau \to \tau+1$ 에 의한 변화

$\begin{pmatrix} \omega'_2 \\ \omega'_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_2 \\ \omega_1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \omega_1+\omega_2 \\ \omega_1 \end{pmatrix}$

$e_1'=\wp(\frac{\omega_1}{2})=e_1$

$e_2'=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2})=e_3$

$e_3'=\wp(\frac{\omega_2}{2})=e_2$

$\lambda(\tau+1)=\frac{e_2-e_3}{e_1-e_3}=\frac{\lambda(\tau)}{\lambda(\tau)-1}$
$S: \tau \to -\frac{1}{\tau}$ 에 의한 변화

$\begin{pmatrix} \omega'_2 \\ \omega'_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_2 \\ \omega_1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -\omega_1 \\ \omega_2 \end{pmatrix}$

$e_1'=\wp(\frac{\omega_2}{2})=e_2$

$e_2'=\wp(\frac{\omega_1}{2})=e_1$

$e_3'=\wp(\frac{\omega_1+\omega_2}{2})=e_3$

$\lambda(-\frac{1}{\tau})=\frac{e_3-e_1}{e_2-e_1}=1-\lambda(\tau)$
따라서 모듈라 군(modular group)에 의해, 다음과 같은 값을 취할 수 있게 된다

$\lambda, {1\over\lambda},{1\over{1-\lambda}}, 1-\lambda, {\lambda\over{\lambda-1}}, {{\lambda-1}\over\lambda}$
이러한 표현은 사영기하학과 교차비에서 등장함
$\Gamma/\Gamma(2)$

타원 모듈라 j-함수와의 관계

타원 모듈라 j-함수 (j-invariant)

$J(\tau)=\frac{4}{27}\frac{(1-\lambda+\lambda^2)^3}{\lambda^2(1-\lambda)^2}$

(증명)

다음과 같은 함수를 생각하자.

$(\lambda(\tau)+1)( {1\over\lambda(\tau)}+1)({1\over{1-\lambda(\tau)}}+1)( 1-\lambda(\tau)+1)( {\lambda(\tau)\over{\lambda(\tau)-1}}+1)( {{\lambda(\tau)-1}\over\lambda(\tau)})$

모듈라군에 의한 변환에서 얻은 결과로 이 함수는 모듈라 군(modular group)에 의하여 불변임을 알 수 있다.

special values

$\lambda(i\infty)=0$

$\lambda(0)=1$

$\lambda(1)=\infty$

$\lambda(\sqrt{-1})=\frac{1}{2}$

$\lambda(\frac {-1+\sqrt{-3}}{2}), \lambda(\frac {1+\sqrt{-3}}{2})$ 는 $1-\lambda+\lambda^2=0$ 의 두 해

역사

수학사연표

메모

수학용어번역

http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
대한수학회 수학 학술 용어집
- http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
대한수학회 수학용어한글화 게시판

사전 형태의 자료

http://ko.wikipedia.org/wiki/
http://en.wikipedia.org/wiki/
http://www.wolframalpha.com/input/?i=
NIST Digital Library of Mathematical Functions
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=