오일러-가우스 초기하함수2F1

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오일러-가우스 초기하함수

개요

초기하급수

$\,_2F_1(a,b;c;z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_nn!}z^n, |z|<1$

여기서 에 대해서는 Pochhammer 기호와 캐츠(Kac) 기호 항목 참조
적분표현

$\,_2F_1(a,b;c;z)=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(c-a)\Gamma(a)}\int_0^1t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-zt)^{-b}\,dt$
초기하급수의 해석적확장을 통해 얻어진 함수를 초기하함수라 함
오일러, 가우스, 쿰머, 리만,슈워츠 등의 연구

초기하급수로 표현되는 함수의 예

많은 special function 은 초기하함수의 파라메터를 변화시켜 얻어짐
제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)

$K(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)$
제2종타원적분 E (complete elliptic integral of the second kind)

$E(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},-\frac{1}{2};1;k^2)$

초기하 미분방정식

$w(z)=\,_2F_1(a,b;c;z)$ 는 다음 피카드-Fuchs 형태의 미분방정식의 해가 된다

$z(1-z)\frac{d^2w}{dz^2}+(c-(a+b+1)z)\frac{dw}{dz}-abw = 0$
이 미분방정식을 초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations) 이라 부른다

오일러의 변환 공식

$_2F_1 (a,b;c;z) = (1-z)^{-a} {}_2F_1 (a, c-b;c ; \frac{z}{z-1})$

$_2F_1 (a,b;c;z) = (1-z)^{-b}{}_2F_1(c-a,b;c;\frac{z}{z-1})$

$_2F_1 (a,b;c;z) = (1-z)^{c-a-b}{}_2F_1 (c-a, c-b;c ; z)$

(증명)

다음 적분표현을 활용

$\,_2F_1(a,b;c;z)=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(c-a)\Gamma(a)}\int_0^1t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-zt)^{-b}\,dt$

위의 우변에서 $t\to 1-t$ , $t\to \frac{t}{1-z-tz}$ , $t\to \frac{1-t}{1-tz}$ 의 변환을 이용하면 항등식이 얻어진다. ■

http://mathworld.wolfram.com/EulersHypergeometricTransformations.html
쿰머의 초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)에 대한 24개의 해를 표현하는데 사용됨

Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein, Wiley-Interscience (July 13, 1998)

179,180p

[Nes2002] 159p

슈워츠 s-함수

슈워츠 s-함수

special values

Chu-Vandermonde 공식

$\,_2F_1(-n,b;c;1)=\dfrac{(c-b)_{n}}{(c)_{n}}$

아래 가우스 공식에서 인 경우에 얻어진다

가우스 공식

$\,_2F_1(a,b;c;1)=\dfrac{\Gamma(c)\,\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}$
위의 두 식에 대해서는 초기하 급수의 합공식
렘니스케이트(lemniscate) 곡선과 타원적분

$\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{1}{2})=K(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1}{4}B(1/4,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{4\sqrt{\pi}}=1.8540746773\cdots$
http://mathworld.wolfram.com/HypergeometricFunction.html

$_2F_1(\frac{1}{3},\frac{2}{3};\frac{5}{6};\frac{27}{32})=\frac{8}{5}$

$_2F_1(\frac{1}{4},\frac{1}{2};\frac{3}{4};\frac{80}{81})=\frac{9}{5}$

$_2F_1(\frac{1}{8},\frac{3}{8};\frac{1}{2};\frac{2400}{2401})=\frac{2}{3}\sqrt{7}$

$_2F_1(\frac{1}{6},\frac{1}{3};\frac{1}{2};\frac{25}{27})=\frac{3}{4}\sqrt{3}$

$_2F_1(\frac{1}{6},\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{125}{128})=\frac{4}{3}\sqrt[6]2$

$_2F_1(\frac{1}{12},\frac{5}{12};\frac{1}{2};\frac{1323}{1331})=\frac{3}{4}\sqrt[4]{11}$

$_2F_1(\frac{1}{12},\frac{5}{12};\frac{1}{2};\frac{121}{125})=\frac{\sqrt[6]{2}\sqrt[4]{15}}{4\sqrt{\pi}}\frac{\Gamma(\frac{1}{3})^3}{\Gamma(\frac{1}{4})^2}(1+\sqrt{3})$

역사

수학사연표

메모

수학용어번역

http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
대한수학회 수학 학술 용어집
- http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
대한수학회 수학용어한글화 게시판

매스매티카 파일 및 계산 리소스

사전 형태의 자료

expository articles

On the Kummer Solutions of the Hypergeometric Equation
- Reese T. Prosser, The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 6 (Jun. - Jul., 1994), pp. 535-543

Ramanujan and hypergeometric and basic hypergeometric series
- R Askey 1990 Russ. Math. Surv. 45 37-86

오일러-가우스 초기하함수2F1

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개요

초기하급수로 표현되는 함수의 예

초기하 미분방정식

오일러의 변환 공식

contiguous 관계

타원적분과 초기하급수

모듈라 함수와의 관계