complex multiplication

두 복소수 $\omega_1,\omega_2$ 에 의해 생성되는 2차원 격자

$\Lambda=\{m_1\omega_1+m_2\omega_2)|m_1,m_2\in\mathbb{Z}\}$
격자로부터 타원곡선 $E=\mathbb{C}/\Lambda$ 를 얻는다

두 타원곡선 사이에 정의된 타원곡선의 항등원을 보존하는 유리함수 $\phi : E_1 \to E_2$ 를 isogeny 라 한다
타원곡선이 $E=\mathbb{C}/\Lambda$ 로 주어지는 경우 모든 isogeny $\phi : E \to E$ 의 집합 $\text{End}({E})$ 는 환의 구조를 가지며, $\text{End}({E})\simeq \{\alpha\in \mathbb{C}|\alpha\Lambda \subset \Lambda\}$ 가 성립한다

타원곡선 $E=\mathbb{C}/\Lambda$ , $\Lambda=\{m_1+m_2\tau)|m_1,m_2\in\mathbb{Z}\}$ 가 주어졌다고 하자
- 여기서 $\Im\tau >0$ 를 가정
$\alpha\in\mathbb{Z}$ 에 대하여, $\alpha\tau \in\Lambda$ 이므로 $\mathbb{Z}\subset \text{End}({E})$ 가 성립한다
일반적인 타원곡선의 경우, $\text{End}({E})=\mathbb{Z}$ 가 성립한다
$\text{End}({E})\neq \mathbb{Z}$ 인 경우, 즉 $\text{End}({E})$ 가 $\mathbb{Z}$ 를 진부분집합으로 포함하는 경우, 타원곡선 가 complex multiplication을 갖는다고 말한다
$E=\mathbb{C}/\Lambda$ , $\Lambda=\{m_1+m_2\tau)|m_1,m_2\in\mathbb{Z}\}$ 에 대해서 가 complex multiplication을 갖는다고 가정하자

$\alpha\in\text{End}({E})-\mathbb{Z}$ 가 존재하여, $\alpha\cdot 1 \in\Lambda$ 이므로, $\alpha=m+n\tau$ ( $n\neq 0$ )꼴로 쓰여진다

한편 $\alpha\tau \in\Lambda$ 가 성립하므로, $\alpha\tau=(m+n\tau)\tau=p+q\tau$ 꼴로 쓰여지게 된다. 여기서 는 모두 정수.

따라서 $n\tau^2-(m-q)\tau-p=0$ 이 만족된다.

그러므로, 타원곡선 가 complex multiplication을 가질 경우, $\tau$ 는 정수계수 이차방정식을 만족시키는 복소수가 된다

http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
대한수학회 수학 학술 용어집
- http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
대한수학회 수학용어한글화 게시판

http://ko.wikipedia.org/wiki/
http://en.wikipedia.org/wiki/complex_multiplication
http://en.wikipedia.org/wiki/
http://www.wolframalpha.com/input/?i=
NIST Digital Library of Mathematical Functions
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=