르장드르 다항식

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개요

 

 

르장드르 미분방정식

 

 

로드리게즈 공식

 

 

3항 점화식

P_0(x)=1, P_1(x)=x

(n+1) P_{n+1}(x) = (2n+1) x P_n(x) - n P_{n-1}(x)

 

 

생성함수

 

 

부분적분에의 응용

n\geq 1 일 때, n번 미분가능한 함수 f에 대하여 다음이 성립한다.

\int_{-1}^1P_n(x)f(x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{2^n n!}\int_{-1}^1 (x^2-1)^nf^{(n)}(x)\,dx.

(증명)

Q(x)=(x^2-1)^n 라 두자.

0\leq k < n 일 때 Q^{(k)}(-1)=Q^{(k)}(1)=0이므로. 부분적분을 반복적용하면,

\int_{-1}^1Q^{(n)}(x)f(x)\,dx=-\int_{-1}^1Q^{(n-1)}(x)f'(x)\,dx=\cdots=(-1)^n \int_{-1}^1 Q(x)f^{(n)}(x)\,dx

P_n(x) =\frac{Q^{(n)}(x)}{2^n n!} 이므로 증명되었다.  ■

 

 

직교성

\int_{-1}^{1}P_{n}(x)P_{m}(x)\,dx=\frac{2}{2n+1}\delta_{n,m}

(증명)

n>m 이라 가정하자.

\int_{-1}^{1}P_{n}(x)P_{m}(x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{2^n n!}\int_{-1}^1 x^{n}(x^2-1)^nP_{m}^{(n)}(x)\,dx

위에서 증명한 성질을 응용하였다.

한편 P_{m}(x)는 차수가 m인 다항식이므로, n번 미분하면 항등적으로 0이 된다. 따라서,

\int_{-1}^{1}P_{n}(x)P_{m}(x)\,dx=0

 

이제 n=m 이라 가정하자.

\int_{-1}^{1}P_{n}(x)P_{n}(x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{2^n n!}\int_{-1}^1 (x^2-1)^nP_{n}^{(n)}(x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{2^n n!}\frac{(2n)!}{2^n n!}\int_{-1}^1 (x^2-1)^n\,dx

한편,

\int_{-1}^1 (x^2-1)^n \,dx=(-1)^n\int_{-1}^1 (1-x^2)^n \,dx=(-1)^n 2^{2n+1}\int_0^1 t^n(1-t)^n\,dt=(-1)^n 2^{2n+1} B(n+1,n+1)=(-1)^n2^{2n+1}\frac{(n!)^2}{(2n+1)!}

여기서 B(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt 는 오일러 베타적분(베타함수) 이다.

따라서

\int_{-1}^{1}P_{n}(x)P_{n}(x)\,dx=\frac{2}{2n+1}.■

 

 

목록

P_0(x)=1
P_1(x)=x
P_2(x)=1/2 (-1+3 x^2)
P_3(x)=1/2 (-3 x+5 x^3)
P_4(x)=1/8 (3-30 x^2+35 x^4)
P_5(x)=1/8 (15 x-70 x^3+63 x^5)
P_6(x)=1/16 (-5+105 x^2-315 x^4+231 x^6)
P_7(x)=1/16 (-35 x+315 x^3-693 x^5+429 x^7)
P_8(x)=1/128 (35-1260 x^2+6930 x^4-12012 x^6+6435 x^8)
P_9(x)=1/128 (315 x-4620 x^3+18018 x^5-25740 x^7+12155 x^9)
P_{10}(x)=1/256 (-63+3465 x^2-30030 x^4+90090 x^6-109395 x^8+46189 x^10)

 

 

역사

 

 

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