Header

  1. View current page

    수학이 알고싶은 중고대딩들을 위한 수학 노트

Springnote Home
Profile_image?t=1256009541&type=big
35 1274

All Pages

Updates

Add to Watch List

타니야마-시무라 추측(정리)

Edit
이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요

  • 유리수체 위에 정의된 타원 곡선의 Hasse-Weil L-함수와 weight 2인 모듈라 형식의 관계

 

 

 

Weil의 역 정리

 

 

 

 

예1. 타원곡선  E: y^2=x^3-4x^2+16

  • 타원곡선

    E: y^2=x^3-4x^2+16

    conductor = 11

  • 유리수체 위의 해의 개수

    E(\mathbb{F}_p)=\{(x,y)\in \mathbb{F}_p^2|y^2=x^3-4x^2+16\}\cup \{(\infty,\infty})\}

    M_p=\#E(\mathbb{F}_p) :

    a_p=p+1-M_p

  • 모듈라 형식

    f(\tau)={\eta(\tau)^2\eta(11\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})^2(1-q^{11n})^2=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{2 }- q^{3 }+ 2 q^{4 }+ q^{5 }+ 2 q^{6 }- 2 q^{7 }- 2 q^{9 }- 2 q^{10 }+ q^{11 }- 2 q^{12 }+ 4 q^{13 }+ 4 q^{14 }- q^{15 }- 4 q^{16 }- 2 q^{17}+\cdots

  • 다음 표는 소수 p에 대하여 각각 위에서 정의한 p,a_p,c_p 를 나타냄. a_p=c_p 이 일반적으로 성립함을 볼 수 있음

    \begin{array}{ccc} p & {a_p} & c_p} \ 2 & -1 & -2 \ 3 & -1 & -1 \ 5 & 1 & 1 \ 7 & -2 & -2 \ 11 & 1 & 1 \ 13 & 4 & 4 \ 17 & -2 & -2 \ 19 & 0 & 0 \ 23 & -1 & -1 \ 29 & 0 & 0 \ 31 & 7 & 7 \ 37 & 3 & 3 \ 41 & -8 & -8 \ 43 & -6 & -6 \ 47 & 8 & 8 \ 53 & -6 & -6 \ 59 & 5 & 5 \ 61 & 12 & 12 \ 67 & -7 & -7 \ 71 & -3 & -3 \end{array}

 

 

예2. 타원곡선  E: y^2=x^3+x^2+4x+4

  • 타원곡선

    E: y^2=x^3+x^2+4x+4

    conductor = 20

  • 유리수체 위의 해의 개수

    E(\mathbb{F}_p)=\{(x,y)\in \mathbb{F}_p^2|E: y^2=x^3+x^2+4x+4\}\cup \{(\infty,\infty})\}

    M_p=\#E(\mathbb{F}_p)

    a_p=p+1-M_p

  • 모듈라 형식

    f(\tau)={\eta(2\tau)^2\eta(10\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{2n})^2(1-q^{10n})^2=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{3 }- q^{5 }+ 2 q^{7 }+ q^{9 }+ 2 q^{13 }+ 2 q^{15 }- 6 q^{17 }- 4 q^{19 }- 4 q^{21 }+ 6 q^{23 }+\cdots

  • 다음 표는 소수 p에 대하여 p,a_p,c_p 를 나타냄. a_p=c_p 임을 볼 수 있음

    \begin{array}{ccc} p & a_p & c_p \ 2 & 0 & 0 \ 3 & -2 & -2 \ 5 & -1 & -1 \ 7 & 2 & 2 \ 11 & 0 & 0 \ 13 & 2 & 2 \ 17 & -6 & -6 \ 19 & -4 & -4 \ 23 & 6 & 6 \ 29 & 6 & 6 \ 31 & -4 & -4 \ 37 & 2 & 2 \ 41 & 6 & 6 \ 43 & -10 & -10 \ 47 & -6 & -6 \ 53 & -6 & -6 \ 59 & 12 & 12 \ 61 & 2 & 2 \ 67 & 2 & 2 \ 71 & -12 & -12 \end{array}

 

 

예3

  • 타원곡선 

    y^2=x^3-x

  • 모듈라 형식

    f(\tau)={\eta(4\tau)^2\eta(8\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{4n})^2(1-q^{8n})^2=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{5 }-3q^9+6q^{13}+2q^{17}+\cdots

 

 

푸리에계수

 

 

 

modularity theorem

  • there exists a finite morphism f:X_0(N)\to E over \mathbb{Q}

    where X_0(N) is the modular curve

 

 

 

 

역사

 

 

메모

  • every elliptic curve over the rational field can be found in the Jacobian variety of the curve which parametrizes elliptic curves with level structure its conductor

 

관련된 항목들

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

 

 

사전 형태의 자료

 

 

관련논문
  • http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
  • http://dx.doi.org/

 

 

 

관련도서
  • Algorithms for modular elliptic curves, J. E. Cremona

 

 

블로그

History

Last edited on 04/13/2012 16:56 by 피타고라스

Linked Page

Linked Pages: 6 more

Comments (0)

You must log in to leave a comment. Please sign in.