타니야마-시무라 추측(정리)

타원곡선

conductor = 11
유리수체 위의 해의 개수

$E(\mathbb{F}_p)=\{(x,y)\in \mathbb{F}_p^2|y^2=x^3-4x^2+16\}\cup \{(\infty,\infty})\}$

$M_p=\#E(\mathbb{F}_p)$ :
모듈라 형식

$f(\tau)={\eta(\tau)^2\eta(11\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})^2(1-q^{11n})^2=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{2 }- q^{3 }+ 2 q^{4 }+ q^{5 }+ 2 q^{6 }- 2 q^{7 }- 2 q^{9 }- 2 q^{10 }+ q^{11 }- 2 q^{12 }+ 4 q^{13 }+ 4 q^{14 }- q^{15 }- 4 q^{16 }- 2 q^{17}+\cdots$
다음 표는 소수 에 대하여 각각 위에서 정의한 를 나타냄. 이 일반적으로 성립함을 볼 수 있음

$\begin{array}{ccc} p & {a_p} & c_p} \ 2 & -1 & -2 \ 3 & -1 & -1 \ 5 & 1 & 1 \ 7 & -2 & -2 \ 11 & 1 & 1 \ 13 & 4 & 4 \ 17 & -2 & -2 \ 19 & 0 & 0 \ 23 & -1 & -1 \ 29 & 0 & 0 \ 31 & 7 & 7 \ 37 & 3 & 3 \ 41 & -8 & -8 \ 43 & -6 & -6 \ 47 & 8 & 8 \ 53 & -6 & -6 \ 59 & 5 & 5 \ 61 & 12 & 12 \ 67 & -7 & -7 \ 71 & -3 & -3 \end{array}$

타원곡선

conductor = 20
유리수체 위의 해의 개수

$E(\mathbb{F}_p)=\{(x,y)\in \mathbb{F}_p^2|E: y^2=x^3+x^2+4x+4\}\cup \{(\infty,\infty})\}$

$M_p=\#E(\mathbb{F}_p)$
모듈라 형식

$f(\tau)={\eta(2\tau)^2\eta(10\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{2n})^2(1-q^{10n})^2=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{3 }- q^{5 }+ 2 q^{7 }+ q^{9 }+ 2 q^{13 }+ 2 q^{15 }- 6 q^{17 }- 4 q^{19 }- 4 q^{21 }+ 6 q^{23 }+\cdots$
다음 표는 소수 에 대하여 를 나타냄. 임을 볼 수 있음

$\begin{array}{ccc} p & a_p & c_p \ 2 & 0 & 0 \ 3 & -2 & -2 \ 5 & -1 & -1 \ 7 & 2 & 2 \ 11 & 0 & 0 \ 13 & 2 & 2 \ 17 & -6 & -6 \ 19 & -4 & -4 \ 23 & 6 & 6 \ 29 & 6 & 6 \ 31 & -4 & -4 \ 37 & 2 & 2 \ 41 & 6 & 6 \ 43 & -10 & -10 \ 47 & -6 & -6 \ 53 & -6 & -6 \ 59 & 12 & 12 \ 61 & 2 & 2 \ 67 & 2 & 2 \ 71 & -12 & -12 \end{array}$

타원곡선
모듈라 형식

$f(\tau)={\eta(4\tau)^2\eta(8\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{4n})^2(1-q^{8n})^2=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{5 }-3q^9+6q^{13}+2q^{17}+\cdots$

there exists a finite morphism $f:X_0(N)\to E$ over \mathbb{Q}

where is the modular curve

every elliptic curve over the rational field can be found in the Jacobian variety of the curve which parametrizes elliptic curves with level structure its conductor

http://ko.wikipedia.org/wiki/
http://en.wikipedia.org/wiki/Taniyama-Shimura-Weil_conjecture
http://en.wikipedia.org/wiki/
http://www.wolframalpha.com/input/?i=
NIST Digital Library of Mathematical Functions
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=