q-감마함수

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q-감마함수

개요

감마함수의 q-analogue

정의

$\Gamma_q(z)= \frac{(q;q)_{\infty}}{(q^{z};q)_{\infty}}(1-q)^{1-z}$

자연수 n에 대하여, z=n+1 일 때,

$\Gamma_q(n+1)= \frac{(q;q)_{\infty}}{(q^{n+1};q)_{\infty}}(1-q)^{-n}= \frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}=[n]_q!$

정의를 이렇게 하는 이유

감마함수가 팩토리얼의 확장이므로 q-팩토리얼의 정의를 이용하자

$[n]_q!= \frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)^n}$
q-Pochhammer 기호 를 사용하여 더 일반적인 경우의 n 에 대하여 쓸 수 있다

$[n]_q!= \frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}= \frac{(q;q)_{\infty}}{(1-q)^n(q^{n+1};q)_{\infty}}$

캐츠(Kac) 기호 를 써서 표현하면,

$[n]_q!=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)^n}=\frac{(1-q)_q^{\infty}}{(1-q)^n(1-q^{n+1})_q^{\infty}}$
위의 식은 이 반드시 자연수가 아니어도 성립하므로, q-감마함수를 다음과 같이 정의할 수 있다

$\Gamma_q(z)= \frac{(q;q)_{\infty}}{(q^{z};q)_{\infty}}(1-q)^{1-z}$

$\Gamma_q(z)= \frac{(1-q)_q^{\infty}}{(1-q^{z})_q^{\infty}}(1-q)^{1-z}$

$\Gamma_q(z) = (1-q)^{1-z}\prod_{n=0}^\infty \frac{1-q^{n+1}}{1-q^{z+n}}.$

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사전 형태의 자료

http://ko.wikipedia.org/wiki/
http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_gamma_function
http://en.wikipedia.org/wiki/Q-gamma_function
http://www.wolframalpha.com/input/?i=
NIST Digital Library of Mathematical Functions
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

관련논문

Moak, Daniel S. 1984. “The $q$-analogue of Stirling’s formula”. The Rocky Mountain Journal of Mathematics 14 (2): 403–413. doi:10.1216/RMJ-1984-14-2-403.
http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
http://dx.doi.org/10.1216/RMJ-1984-14-2-403

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