점화식, 미분방정식, 선형대수학

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개요

 

 

 

선형점화식

pa_{n+2} + qa_{n+1} + ra_n = 0 꼴의 점화식

점화식의 해가 되는 수열들의 집합은 2차원 벡터공간을 이루므로, 두 개의 선형독립인 해를 찾으면 된다.

 

특성방정식 px^2 + qx + r = 0 가 서로 다른 두 근을 \alpha, \beta 를 갖는 경우.

수열 \alpha^{n}와 \beta^{n}는 선형독립인 두 해가 된다.

따라서 점화식의 일반해는 그 선형결합 a_n = A\alpha^{n} + B\beta^{n} 꼴로 주어진다.

 

특성방정식 px^2 + qx + r = 0 가 중근 \alpha 를 가지는 경우

수열 \alpha^{n} 와 n\alpha^{n} 는 선형독립인 두 해가 된다.

따라서 점화식의 일반해는 a_n = A\alpha^{n} + Bn\alpha^{n} 꼴로 주어진다.

(증명)

수열 n\alpha^{n} 이 점화식의 해가 되는지를 확인하면 된다.

p(n+2)\alpha^{n+2} + q(n+1)\alpha^{n+1} + rn\alpha^{n} =(n(p\alpha^2+q\alpha+r)+(2p+q)) \alpha^n=0

여기서 px^2 + qx + r = 0 가 중근 \alpha을 가지므로 p\alpha^2+q\alpha+r=0, 2p+q=0이다.

■

 

 

상수계수 이계 선형미분방정식

ay''+by'+cy=0

선형미분방정식의 해는 2차원 벡터공간을 이루므로, 두 개의 선형독립인 해를 찾으면 된다.

 

특성방정식 ax^2 + bx + c = 0 가 서로 다른 두 근을 \alpha, \beta 를 갖는 경우.

함수 e^{\alpha t}와 e^{\beta t}는 선형독립인 두 해가 된다.

따라서 점화식의 일반해는 그 선형결합 y(t) = Ae^{\alpha t} + Be^{\beta t} 꼴로 주어진다.

 

특성방정식 ax^2 + bx + c = 0 가 중근을 \alpha 를 갖는 경우.

 

함수 e^{\alpha t}와 te^{\beta t}는 선형독립인 두 해가 된다.

 

따라서 점화식의 일반해는 그 선형결합 y(t) = Ae^{\alpha t} + Bte^{\alpha t} 꼴로 주어진다.

 

 

(증명)

ax^2 + bx + c = 0 가 중근 \alpha을 가지므로 a\alpha^2+b\alpha+c=0, 2a+b=0이다.

y(t) = te^{\alpha t} 라 하자.

y'(t) = (\alpha t+1)e^{\alpha t}

y''(t) = (\alpha^2 t+2\alpha)e^{\alpha t}

미분방정식에 대입하면,

ay''(t)+by'(t)+cy =\{a(\alpha^2 t+2\alpha)+b(\alpha t+1)+ct\}e^{\alpha t}=\{(a\alpha^2 +b\alpha+c)t+(2a \alpha +b)\}e^{\alpha t}=0 ■

 

 

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