타원곡선 y²=x³-x

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타원곡선 y^2=x^3-x

개요

타원곡선 의 예를 통한 여러가지 타원곡선과 관련한 개념의 이해
복소수 위에 정의된 타원곡선은 정사각형 격자에 대응된다
$x\to -x$ , $y\to iy$ 는 타원곡선의 대칭이다
complex multiplication
elliptic curve "32a2"

판별식과 conductor

판별식 $\Delta=64$
conductor

실수해

유리수해

$E(\mathbb Q)=\{(\infty,\infty), (0,0),(1,0),(-1,0)\} \simeq \frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z}\oplus \frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z}$
rank 는 0

주기(periods)

타원곡선의 주기 의 공식을 이용하기 위해 로 두자
주기는 다음과 같이 주어진다

$\omega_1=2\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^3-x}}=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=5.24\cdots$

$\omega_2=2i\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x-x^3}}=2i\int_{\infty}^1\frac{-dy}{\sqrt{y^3-y}}=i\omega_{1}$
렘니스케이트(lemniscate) 곡선과 타원적분

$2\omega=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.24\cdots$

$2\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x-x^3}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=5.24\cdots$
모듈라 군, j-invariant and the singular moduli 의 special values 부분과 비교

유한체에서의 해의 개수

유한체에서의 해의 개수

$E(\mathbb{F}_p)=\{(x,y)\in \mathbb{F}_p^2|E: y^2=x^3-x\}\cup \{(\infty,\infty})\}$

$M_p=\#E(\mathbb{F}_p)$
아래 표 참조

제타함수

대수적다양체의 제타함수 항목 참조
로컬제타함수

$p\neq 2$ 인 경우

$Z_p(T)=\frac{1-a_pT+pT^2}{(1 - T)(1- pT)}$

인 경우

$Z_2(T)=\frac{1-a_2T}{(1 - T)(1- 2T)}=\frac{1}{(1 - T)(1- 2T)}$

모듈라 형식

모듈라 형식

$f(\tau)={\eta(4\tau)^2\eta(8\tau)^2}=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{4n})^2(1-q^{8n})^2=\sum_{n=1}^{\infty}c_nq^n=q - 2 q^{5 }-3q^9+6q^{13}+2q^{17}+\cdots$

$\eta(\tau)$ 는 데데킨트 에타함수
표

$\begin{array}{ccc} {p} & {a_p} & {c_p} \ 2 & 0 & 0 \ 3 & 0 & 0 \ 5 & -2 & -2 \ 7 & 0 & 0 \ 11 & 0 & 0 \ 13 & 6 & 6 \ 17 & 2 & 2 \ 19 & 0 & 0 \ 23 & 0 & 0 \ 29 & -10 & -10 \ 31 & 0 & 0 \ 37 & -2 & -2 \ 41 & 10 & 10 \ 43 & 0 & 0 \ 47 & 0 & 0 \ 53 & 14 & 14 \ 59 & 0 & 0 \ 61 & -10 & -10 \ 67 & 0 & 0 \ 71 & 0 & 0 \end{array}$

타니야마-시무라 추측(정리) 항목 참조

재미있는 사실

네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=

역사

수학사연표

메모

매스매티카 파일 및 계산 리소스

매스매티카 파일 목록

사전 형태의 자료

http://ko.wikipedia.org/wiki/
http://en.wikipedia.org/wiki/
NIST Digital Library of Mathematical Functions

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Last edited on 12/09/2011 14:09 by 피타고라스

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