미분방정식

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미분방정식

개요

미분방정식은 자연현상을 기술하는 수학적인 언어
함수를 계수로 하여 미지수가 되는 일변수 함수와 고계도함수 사이에 만족되는 방정식을 말함
학부과정에서는 상미분방정식 과목과 편미분방정식이 있음
미분방정식의 해를 적당한 클래스의 함수(가령 초등함수, 초등함수의 적분) 들을 이용하여 표현하는 문제(solvability, integrability, quadrature)
분류법
- 미분방정식의 계(order)
- 선형미분방정식과 비선형미분방정식
- 상미분방정식과 편미분방정식

일계 미분방정식

일계선형미분방정식

$\frac{dy}{dt}+a(t)y=b(t)$
완전미분방정식

를 만족시키는 $M(x, y)\, dx + N(x, y)\, dy = 0$ 꼴의 미분방정식
다음 미분방정식들은 비선형이다
리카티 미분방정식

$y' = A(x)+ B(x)y + C(x)y^2, A(x)\neq 0, C(x)\neq 0$
베르누이 미분방정식

이계 선형미분방정식

다음 형태로 주어지는 미분방정식을 이계선형미분방정식이라 함

$\frac{d^2y}{dx^2}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=g(x)$
상수계수 이계 선형미분방정식
Airy 미분방정식
베셀 미분방정식

$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0$
에르미트 다항식(Hermite polynomials)

$y''-2xy'+\lambda y=0$
르장드르 다항식

$(1-x^2)y''-2xy'+\lambda(\lambda+1) y=0$
체비셰프 다항식

$(1-x^2)y''-xy'+\lambda^2 y=0$
라게르 미분방정식

$xy''+(1-x)y'+\lambda y=0$
오일러 미분방정식

$x^2\frac{d^2y}{dx^2}+\alpha x\frac{dy}{dx}+\beta y=0$
초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)

$z(1-z)\frac{d^2w}{dz^2}+(c-(a+b+1)z)\frac{dw}{dz}-abw = 0$
리만 미분방정식

$\frac{d^2w}{dz^2} + \left[ \frac{1-\alpha-\alpha'}{z-a} + \frac{1-\beta-\beta'}{z-b} + \frac{1-\gamma-\gamma'}{z-c} \right] \frac{dw}{dz}+\left[ \frac{\alpha\alpha' (a-b)(a-c)} {z-a} +\frac{\beta\beta' (b-c)(b-a)} {z-b} +\frac{\gamma\gamma' (c-a)(c-b)} {z-c} \right] \frac{w}{(z-a)(z-b)(z-c)}=0$

여기서 $\alpha+\alpha'+\beta+\beta'+\gamma+\gamma'=1$

호인 미분방정식(Heun's equation)

$\frac {d^2w}{dz^2} + \left[\frac{\gamma}{z}+ \frac{\delta}{z-1} + \frac{\epsilon}{z-d} \right] \frac {dw}{dz} + \frac {\alpha \beta z -q} {z(z-1)(z-d)} w = 0$ (여기서 $\epsilon=\alpha+\beta-\gamma-\delta+1$ )

비선형 미분방저식

팽르베 미분방정식
바이어슈트라스의 타원함수

$(\frac{dw}{dz})^2=4w^3-g_2w-g_3$

스텀-리우빌

스텀-리우빌 이론 항목에서 자세히 다룸

재미있는 사실

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역사

메모

qualitative study

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관련된 항목들

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대한수학회 수학용어한글화 게시판

사전 형태의 자료

http://ko.wikipedia.org/wiki/상미분_방정식
http://ko.wikipedia.org/wiki/
http://en.wikipedia.org/wiki/differential_equation
http://www.wolframalpha.com/input/?i=
NIST Digital Library of Mathematical Functions
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

관련논문

What It Means to Understand a Differential Equation
- John H. Hubbard, The College Mathematics Journal, Vol. 25, No. 5 (Nov., 1994), pp. 372-384
Elementary Quadratures of Ordinary Differential Equations
- Li Hong-Xiang, The American Mathematical Monthly, Vol. 89, No. 3 (Mar., 1982), pp. 198-208
Symmetry and Differential Equations
- J. V. Greenman, The Mathematical Gazette, Vol. 61, No. 418 (Dec., 1977), pp. 279-283

Anatomy of the Ordinary Differential Equation
- W. T. Reid, The American Mathematical Monthly, Vol. 82, No. 10 (Dec., 1975), pp. 971-984
Some of the developments in the theory of ordinary differential equations between 1878 and 1893
- T. Craig
http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=differential+equation
http://dx.doi.org/

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