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파동 방정식

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개요

  • 편미분방정식

    { \partial^2 u \over \partial t^2 } = v^2 \nabla^2 u

 

 

주요용어
  • 각속도(circular frequency) \omega
  • 파동수 (wavenumber) k
  • 속도 v=\omega/k
  • 진폭 amplitude 파동의 높이
  • 위상

  • dispersion relation

    • 일반적인 파동을 기술하는 편미분방정식에 대하여 wave train u(x,t)=A\cos(kx-\omega t) 가 미분방정식의 해가 되기 위해 만족시켜야 하는 각속도(circular frequency) \omega와 파동수 (wavenumber) k의 관계
    • 파동방정식의 경우는 k=v\omega 를 만족시킨다

 

 

경계조건과 초기조건
  • 초기조건 (t=0)

  • 디리클레 경계조건

    u(t,x=0)=u(t,x=a)=0

  • 노이만 경계조건

    u_{x}(t,x=0)=u_{x}(t,x=a)=0

 

 

1차원에서의 일반해
  • \frac{\partial^2 Y}{\partial t^2}=v^2\frac{\partial^2 Y}{\partial x^2} 또는 \mu\frac{\partial^2 Y}{\partial t^2}=T\frac{\partial^2 Y}{\partial x^2} (v=\sqrt{\frac{T}{\mu}})

  • 일반해는 Y=f(x+vt)+g(x-vt)로 주어진다

  • f는 왼쪽, g는 오른쪽으로 이동하는 파동이며, Y는 그 중첩으로 주어진다

 

(증명)

u=x+at, v=x-at라 두자.

그러면 Y=f(u)+g(v)로 쓸 수 있다.

\frac{\partial Y}{\partial t}=\frac{\partial Y}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial t} +\frac{\partial Y}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial t}=f'(u)a+g'(v)(-a)=af'(u)-ag'(v)

 W(u,v)=\frac{\partial Y}{\partial t}=af'(u)-ag'(v).

\frac{\partial^2 Y}{\partial t^2}=\frac{\partial W}{\partial t}=\frac{\partial W}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial t} +\frac{\partial W}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial t}=af''(u)a-ag''(v)(-a)=a^2(f''(u)+g''(v))

 

 

\frac{\partial Y}{\partial x}=\frac{\partial Y}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial Y}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=f'(u)+g'(v)

Z(u,v)=\frac{\partial Y}{\partial x}=f'(u)+g'(v)

\frac{\partial^2 Y}{\partial x^2}=\frac{\partial Z}{\partial x}=\frac{\partial Z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial Z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=f''(u)+g''(v)

 

따라서

\frac{\partial^2 Y}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2 Y}{\partial x^2}=a^2(f''(u)+g''(v))■

 

 

변수분리

  • 정상파

    u(x,t)=X(x)T(t) 꼴로 표현되는 파동방정식의 해

  • 경계조건 (양 끝점의 위치는 고정) t>0 일 때, u(0,t)=u(L,t)=0 이 주어질때, 정상파의 해는 다음과 같다

    u_n(x,t)=[A\cos(\frac{n\pi v t}{L})+B\sin(\frac{n\pi v t}{L})]\sin (\frac{n\pi x}{L})

(증명)

X''(x)=-\frac{\lambda_{n}^2}{v^2}X(x)

 

T''(t)=-\lambda_{n}^2T(t)

 

여기서 \lambda_{n}=\frac{n\pi v}{L}, \n\in \mathbb{Z}

 

u(x,t)=e^{-k n^2 t} e^{ik nx} ■

 

 

로렌츠 불변성
  • 파동방정식 \frac{1}{c^2}{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = { \partial^2 u \over \partial x^2 } 은 로렌츠변환에 대하여 불변이다.
  • 즉 \frac{1}{c^2}{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = { \partial^2 u \over \partial x^2 } 이면, \frac{1}{c^2}{ \partial^2 u' \over \partial t'^2 } = { \partial^2 u' \over \partial x'^2 } 이 성립한다.

  • 여기서

    \left( \begin{array}{c} x' \ c t' \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc} \cosh (\epsilon ) & \sinh (\epsilon ) \ \sinh (\epsilon ) & \cosh (\epsilon ) \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \ c t \end{array} \right) , u'(x',t')=u(x,t)

 

 

평면파

  • u(\mathbf{x},t) = A e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega t)}

 

 

맥스웰방정식

  • 맥스웰방정식 으로부터 전기장이 파동방정식을 만족시킴을 알 수 있다

    \nabla^2 \mathbf{E}= \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}} {\partial t^2}

 

 

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