파동 방정식

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파동방정식

개요

편미분방정식

${ \partial^2 u \over \partial t^2 } = v^2 \nabla^2 u$

주요용어

각속도(circular frequency) $\omega$
파동수 (wavenumber)
속도 $v=\omega/k$
진폭 amplitude 파동의 높이
위상
dispersion relation
- 일반적인 파동을 기술하는 편미분방정식에 대하여 wave train $u(x,t)=A\cos(kx-\omega t)$ 가 미분방정식의 해가 되기 위해 만족시켜야 하는 각속도(circular frequency) $\omega$ 와 파동수 (wavenumber) 의 관계
- 파동방정식의 경우는 $k=v\omega$ 를 만족시킨다

경계조건과 초기조건

초기조건 ()

디리클레 경계조건
노이만 경계조건

$u_{x}(t,x=0)=u_{x}(t,x=a)=0$

1차원에서의 일반해

$\frac{\partial^2 Y}{\partial t^2}=v^2\frac{\partial^2 Y}{\partial x^2}$ 또는 $\mu\frac{\partial^2 Y}{\partial t^2}=T\frac{\partial^2 Y}{\partial x^2}$ ( $v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}$ )
일반해는 로 주어진다
f는 왼쪽, g는 오른쪽으로 이동하는 파동이며, Y는 그 중첩으로 주어진다

(증명)

u=x+at , v=x-at 라 두자.

그러면 Y=f(u)+g(v) 로 쓸 수 있다.

$\frac{\partial Y}{\partial t}=\frac{\partial Y}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial t} +\frac{\partial Y}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial t}=f'(u)a+g'(v)(-a)=af'(u)-ag'(v)$

$W(u,v)=\frac{\partial Y}{\partial t}=af'(u)-ag'(v)$ .

$\frac{\partial^2 Y}{\partial t^2}=\frac{\partial W}{\partial t}=\frac{\partial W}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial t} +\frac{\partial W}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial t}=af''(u)a-ag''(v)(-a)=a^2(f''(u)+g''(v))$

$\frac{\partial Y}{\partial x}=\frac{\partial Y}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial Y}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=f'(u)+g'(v)$

$Z(u,v)=\frac{\partial Y}{\partial x}=f'(u)+g'(v)$

$\frac{\partial^2 Y}{\partial x^2}=\frac{\partial Z}{\partial x}=\frac{\partial Z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial Z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=f''(u)+g''(v)$

따라서

$\frac{\partial^2 Y}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2 Y}{\partial x^2}=a^2(f''(u)+g''(v))$ ■

변수분리

정상파

꼴로 표현되는 파동방정식의 해
경계조건 (양 끝점의 위치는 고정) 일 때, 이 주어질때, 정상파의 해는 다음과 같다

$u_n(x,t)=[A\cos(\frac{n\pi v t}{L})+B\sin(\frac{n\pi v t}{L})]\sin (\frac{n\pi x}{L})$

(증명)

$X''(x)=-\frac{\lambda_{n}^2}{v^2}X(x)$

$T''(t)=-\lambda_{n}^2T(t)$

여기서 $\lambda_{n}=\frac{n\pi v}{L}, \n\in \mathbb{Z}$

$u(x,t)=e^{-k n^2 t} e^{ik nx}$ ■

초기조건 ()

위치

속도
위와 같은 초기조건이 주어지는 경우, 파동방정식의 해는 푸리에 급수 를 사용하여 해를 표현할 수 있다
정상파 http://en.wikipedia.org/wiki/Standing_wave

로렌츠 불변성

파동방정식 $\frac{1}{c^2}{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = { \partial^2 u \over \partial x^2 }$ 은 로렌츠변환에 대하여 불변이다.
즉 $\frac{1}{c^2}{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = { \partial^2 u \over \partial x^2 }$ 이면, $\frac{1}{c^2}{ \partial^2 u' \over \partial t'^2 } = { \partial^2 u' \over \partial x'^2 }$ 이 성립한다.
여기서

$\left( \begin{array}{c} x' \ c t' \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc} \cosh (\epsilon ) & \sinh (\epsilon ) \ \sinh (\epsilon ) & \cosh (\epsilon ) \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \ c t \end{array} \right)$ ,

평면파

$u(\mathbf{x},t) = A e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega t)}$

맥스웰방정식

맥스웰방정식 으로부터 전기장이 파동방정식을 만족시킴을 알 수 있다

$\nabla^2 \mathbf{E}= \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}} {\partial t^2}$

역사

http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
수학사연표

메모

슈뢰딩거 방정식 http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/scheq.html#c1
2차원 파동방정식 http://twitter.com/#!/mathematicsprof/status/122814424959557632

매스매티카 파일 및 계산 리소스

수학용어번역

단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
발음사전 http://www.forvo.com/search/
대한수학회 수학 학술 용어집
- http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
남·북한수학용어비교
대한수학회 수학용어한글화 게시판

사전 형태의 자료

http://ko.wikipedia.org/wiki/
http://en.wikipedia.org/wiki/Plane_wave
http://en.wikipedia.org/wiki/Standing_wave
http://www.wolframalpha.com/input/?i=
NIST Digital Library of Mathematical Functions
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

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