완전미분방정식

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완전미분방정식

개요

꼴의 미분방정식
$M(x, y)\, dx + N(x, y)\, dy = 0$ 형태로 쓸 수 있으며, 다음 조건을 만족시키는 경우 완전미분방정식이라 부름

$\frac{\partial M}{\partial y}(x, y) = \frac{\partial N}{\partial x}(x, y)$
푸앵카레 보조정리
호몰로지 대수의 흔적

해가 존재할 조건

$\operatorname{grad}(\phi) = \nabla \phi=(M,N)$ 을 만족하는 함수가 존재하는 경우

$\frac{d}{dx}\phi(x,y) = \frac{\partial \phi}{\partial x}+\frac{\partial \phi}{\partial y}\frac{dy}{dx}=M+Ny=0$
국소적인 해가 존재할 필요충분조건

$\frac{\partial M}{\partial y}(x, y) = \frac{\partial N}{\partial x}(x, y)$
이는 미분연산자 가 만족시키는 조건 $\nabla \times (\nabla f)=0$ 으로 설명가능

적분인자

일계선형미분방정식에의 응용

$\frac{dy}{dt}+a(t)y=b(t)$

재미있는 사실

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