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일계 선형미분방정식

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일계 선형미분방정식

개요

미분방정식

$\frac{dy}{dx}+a(x)y=b(x)$
적분인자를 통하여 해를 구할 수 있다

적분인자를 이용한 미분방정식의 풀이

적분인자 $e^{\int a(x)\,dx}$ 를 미분방정식의 양변에 곱하여 다음을 얻는다

$y'(x)e^{\int a(x)\,dx}+a(x)y(x)e^{\int a(x)\,dx}=b(x)e^{\int a(x) \, dx}$

$(y(x)e^{\int a(x)\,dx})'=b(x)e^{\int a(x)\,dx}$

$y(x)e^{\int a(x)\,dx}=\int b(x)e^{\int a(x)\,dx} \,dx+C$

예1

$y'(t)+k y(t)=10 k e^{-k t}$ 의 경우

적분인자 $e^{kt}$ 를 양변에 곱하면,

$(y(t)e^{kt})'=10 k$ 를 얻는다.

따라서 $y(t)e^{kt}=10 k t +y(0)$

$y(t)= y(0) e^{-k t}+10 k t e^{-k t}$

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