크리스토펠 기호

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크리스토펠 기호

개요

접속 (connection)

정의된 접속형식으로부터 다음과 같이 크리스토펠 기호 ${\Gamma^k}_{ij}$ , $i,j,k\in\ I$ 를 정의한다

$\nabla_iX_j = {\Gamma^k}_{ij}X_k$
접속형식 $A=(A_{ij})$ 을 통해서는 다음과 같이 표현할 수 있다

$\nabla_i X_j = A_{j}^{k}(X_i) X_k$

즉 $A_{jk}(X_i)={\Gamma^k}_{ij}$
$\Gamma^i_{jk}=\Gamma^i_{kj}$ 이 성립한다

매개화된 곡면의 경우

3차원 상의 매개화된 곡면의 경우에는 다음과 같이 얻어진다(아래의 *는 곡면에 수직한 성분을 뜻함)

$X_{uu}=\Gamma^1_{11}X_u+\Gamma^2_{11}X_v+(*)$

$X_{uv}=\Gamma^1_{12}X_u+\Gamma^2_{12}X_v+(*)$

$X_{vu}=\Gamma^1_{21}X_u+\Gamma^2_{21}X_v+(*)$

$X_{vv}=\Gamma^1_{22}X_u+\Gamma^2_{22}X_v+(*)$
$\Gamma^1_{12}=\Gamma^1_{21}$ , $\Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}$ 가 성립한다

제1기본형식을 이용한 표현

$\Gamma^1_{11}=\frac{GE_u-2FF_u+FE_v}{2(EG-F^2)}$

$\Gamma^1_{12}=\frac{GE_v-FG_u}{2(EG-F^2)}$

$\Gamma^1_{22}=\frac{2GF_v-GG_u-FG_v}{2(EG-F^2)}$

$\Gamma^2_{11}=\frac{2EF_u-EE_v-FE_u}{2(EG-F^2)}$

$\Gamma^2_{12}=\frac{EG_u-FE_v}{2(EG-F^2)}$

$\Gamma^2_{22}=\frac{EG_v-2FF_v+FG_u}{2(EG-F^2)}$
인 경우

$\Gamma^1_{11}=\frac{E_u}{2E}$

$\Gamma^2_{11}=\frac{-E_v}{2G}$

$\Gamma^1_{12}=\frac{E_v}{2E}$

$\Gamma^2_{12}=\frac{G_u}{2G}$

$\Gamma^1_{22}=\frac{-G_u}{2E}$

$\Gamma^2_{22}=\frac{G_v}{2G}$

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http://en.wikipedia.org/wiki/Christoffel_symbols
http://en.wikipedia.org/wiki/
http://www.wolframalpha.com/input/?i=
NIST Digital Library of Mathematical Functions
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=