대수적다양체의 제타함수

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개요

유한체 $\mathbb{F}_q$ () 에서 정의된 사영다양체의 해의 개수에 대한 생성함수

로컬 제타함수

이 $\mathbb{F}_{q^r}$ 에서의 해의 개수라 하면

$Z(T,\mathbb{F}_{q})=\exp(\sum_{r=1}^{\infty}N_r\frac{T^r}{r})$
소수 의 경우 다음과 같이 쓰기도 함

$Z_p(T):=Z(T,\mathbb{F}_p)$
$T=q^{-s}$ 로 쓰면, -함수의 로컬인자들을 얻는다

예

사영 직선

$Z(T)=\frac{1}{(1 - T)(1- qT)}$
$Z(T)=\frac{1}{(1 - T)(1- qT)}$
non-singular 타원곡선 (over $\mathbb{F}_p$ )

$Z_p(T)=\frac{1-a_pT+pT^2}{(1 - T)(1- pT)}$

여기서 $a_p=p+1-\#E(\mathbb{F}_p)$

재미있는 사실

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사전 형태의 자료

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http://en.wikipedia.org/wiki/Local_zeta_function
http://www.wolframalpha.com/input/?i=
NIST Digital Library of Mathematical Functions
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

관련논문

Why Study Equations over Finite Fields? , Neal Koblitz, Mathematics Magazine, Vol. 55, No. 3 (May, 1982), pp. 144-149
Atiyah, M. F. 1976. “Bakerian Lecture, 1975: Global Geometry”. Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences 347 (1650) (1월 13): 291-299 http://www.jstor.org/stable/78966

http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
http://dx.doi.org/

관련도서

p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Function
- Neal Koblitz, Springer, 1996

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