분할수의 생성함수(오일러 함수)

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개요

\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \right = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1}

 

 

오일러의 오각수정리

 

 

q가 1에 가까울 때의 근사공식

(정리)

q\to 1 일 때,

F(q)= \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \sim \exp(\frac{\pi^2}{6(1-q)})

 

(증명)

\log F(q)= \sum_{n=1}^\infty \log \frac {1}{1-q^n} \right =\sum_{m=1,n=1}^{\infty}\frac{q^{mn}}{m}=\sum_{m=1}\frac{q^m}{m(1-q^m)}

1-q^m=(1-q)(1+q+\cdots+q^{m-1})  와 0<q<1 을 이용하면,

mq^{m-1}(1-x)<1-q^m<m(1-q) 이다. 따라서,

\frac{1}{1-q}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{q^m}{m^2}< \sum_{n=1}^\infty \log \frac {1}{1-q^n} <\frac{1}{1-q}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{q}{m^2}

 

q가 1에 가까워질 때, 

\sum_{m=1}^{\infty}\frac{q^m}{m^2}\to \frac{\pi^2}{6},  \sum_{m=1}^{\infty}\frac{q}{m^2}\to \frac{\pi^2}{6}

이므로,

F(q)= \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \sim \exp(\frac{\pi^2}{6(1-q)}) ■

 

 

 

분할수의 근사공식

 

 

 

q-초기하급수 형태로의 표현

 

(정리)

\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \right = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} =1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^n}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}

 

(증명)

오일러의 무한곱공식을 적용.

\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1}{1-zq^n}=\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n ■

 

 

(정리) (Durfee square identity)

 

 

 

 

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