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q-이항계수 (가우스 다항식)

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q-이항계수(가우스 다항식)

개요

이항계수의 q-analogue
가우스 다항식(Gaussian polynomial)으로 불리기도 한다
q-이항계수의 목록

양자평면

세 변수 사이에 다음과 같은 관계를 정의
거듭제곱의 전개

$(x+y)^4=x^4+(1+q+q^2+q^3)x^3y+\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2\right)x^2y^2+(1+q+q^2+q^3)xy^3+y^4$
여기서 등장하는 계수들을 q-이항계수로 정의하고자 한다

q-이항계수

정의

${n \choose r}_q={{[n]_q!} \over {[r]_q![n - r]_q!}}=\frac{(q;q)_n}{(q;q)_r(q;q)_{n-r}}=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)_q^r (1-q)_q^{n-r}}$

풀어쓰면 다음과 같다

${n \choose r}_q=\frac{(1-q^n)\cdots(1-q^{n-r+1})}{(1-q^r)\cdots(1-q^{1})}$
예

${4 \choose 1}_q=1+q+q^2+q^3$

${4 \choose 2}_q=(1+q+q^2)(1+q^2)=1+q+2q^2+q^3+q^4$

${5 \choose 1}_q=1+q+q^2+q^3+q^4$

${5 \choose 2}_q=\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2+q^3+q^4\right)$
이 작을 경우에 대한 q-이항계수의 목록 참조

점화식

이항계수와 조합에서 얻은 식의 q-analogue

${n\choose r-1}_q+q^r{n\choose r}_q={n+1\choose r}_q$
예 q-이항계수의 목록 항목 참조

${4\choose 1}_q+q^2{4\choose 2}_q={5\choose 2}_q$

$1+q+q^2+q^3+q^2(1+q+2q^2+q^3+q^4)=1+q+q^2+q^3+q^4+q^2(1+q+q^2+q^3+q^4)=\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2+q^3+q^4\right)$

역사

http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
수학사연표

메모

관련된 항목들

이항계수와 조합

수학용어번역

http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
대한수학회 수학 학술 용어집
- http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
대한수학회 수학용어한글화 게시판

사전 형태의 자료

http://ko.wikipedia.org/wiki/
http://en.wikipedia.org/wiki/
http://www.wolframalpha.com/input/?i=
NIST Digital Library of Mathematical Functions
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

관련논문

http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
http://dx.doi.org/

관련도서

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