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맴돌이군과 미분방정식

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개요

 

 

로그함수와 맴돌이

로그함수를 이해하는 또다른 관점에 대하여 생각해 보려 한다.

 

복소함수 y(z)에 대한 오일러 미분방정식 을 생각해보자.

z^2\frac{d^2y}{dz^2}+\alpha z\frac{dy}{dz}+\beta y=0

이 미분방정식은 원점 즉, z=0에서 특이점을 가진다.

 

로그함수에 대하여 생각하고 있으므로, 특별히 \alpha=1, \beta=0 인 간단한 경우를 생각해 보자.

z^2\frac{d^2y}{dz^2}+ z\frac{dy}{dz}=0

선형 이계 미분방정식 이므로 z=1 근방의 공간에서 두 개의 일차독립인 해가 존재한다.

 

두 함수 y_1=1과 y_2=\log z (국소적으로 생각하고 있으므로, y_2(1)=0 인 로그함수의 가지(branch)를 선택) 가 미분방정식의  z=1 근방에서의 해공간의 기저가 된다.

y_1'=0이므로 미분방정식의 해이다. 또, y_2'=1/z, y_2''=-1/z^2이므로 역시 미분방정식의 해이다.

즉 이 미분방정식의 z=1 근방의 모든 해는 적당한 복소수 c_1,c_2에 대하여 y(z)=c_1+c_2\log z=c_1y_1+c_2y_2의 형태로 쓸 수 있다.

 

이제 이렇게 얻어진 미분방정식의 해를 가지고, 해석적확장을 할 때 생기는 현상에 대하여 생각해보자.

1은 해석함수(analytic function)이므로, 어떤 경로를 따라서 움직이든 해석적확장(analytic continuation) 에 의해 변하지 않는다. 즉 원점 주위를 한바퀴 반시계방향으로 회전하며 해석적확장을 해도  1 =1 \cdot y_1+0 \cdot y_2 으로 남아 있다.

한편, 미분방정식의 특이점인 z=0 즉, 원점 주위를 z=1에서 시작하여 한바퀴 반시계 방향으로 회전하며 y_1=\log z를 해석적으로 확장하여 같은 자리로 돌아오는 경우, 복소로그함수와 리만곡면에서 보았듯이 2\pi i만큼 다른 값을 가지는 새로운 함수 \log z+2\pi i=2\pi i\cdot y_1+1 \cdot y_2 를 얻게 된다.

 

따라서 원점 주위를 반시계 방향으로 도는 닫힌 경로는, 이 경로를 따라가는 해석적확장 과정을 통해 해공간을 변화시키는 선형사상으로 이해할 경우, 미분방정식의 해공간의 기저 y_1,y_2에 대하여 행렬

\begin{pmatrix} 1 & 2\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

에 대응된다.

 

한바퀴 도는 경우가 행렬 \begin{pmatrix} 1 & 2\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix}에 대응되므로, 두바퀴 도는 경우는 \begin{pmatrix} 1 & 4\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, 세바퀴 도는 경우는 \begin{pmatrix} 1 & 6\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, 거꾸로 한바퀴 도는 경우는 \begin{pmatrix} 1 & -2\pi i \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ... 에 대응된다.

 

일반적으로 이렇게 특이점이 있는 미분방정식의 해를 특이점 주변에서 해석적확장을 하며 얻어지는 원점 주변에 놓인 닫힌 루프에 대응되는 행렬들, 즉 준동형사상(homomorphism) \pi_1(\mathbb{C}-\{0\}) \to \operatorname{GL}_2(\mathbb{C}) 를 미분방정식에 대한 맴돌이 표현(monodromy representation)이라 하며, 이 때의 치역(image)을 맴돌이군(monodromy group)이라 한다. 이러한 개념들을 이해해야, ‘Proof of the Existence of Linear Differential Equations Having a Prescribed Monodromic Group’  http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert’s_twenty-first_problem

에 접근할 수 있다.

 

즉 오일러 미분방정식의 특별한 경우인 z^2\frac{d^2y}{dz^2}+ z\frac{dy}{dz}=0 의 맴돌이군은 따라서 정수들이 이루는 군 \mathbb{Z}가 된다.

 

복소로그함수를 이해하려면 앞에서처럼 리만곡면에서 정의되는 함수로 이해하든지, 아니면 이렇게 미분방정식과 그 맴돌이군을 통해 이해하던지 그때그때 필요한대로 선택하면 된다.

 

 

타원적분과 맴돌이

  • 오일러-가우스 초기하함수를 이용한 표현

    K(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)

  • z=k^2로 두고, w(z)=\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;z) 라 하자

    K(k)=w(z)=w(k^2)

    K(k')=w(1-z)=w(1-k^2)

  • w(z)는 다음 초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)을 만족시킨다

    z(1-z)\frac{d^2w}{dz^2}+(1-2z)\frac{dw}{dz}-\frac{1}{4}w = 0

  • w_1(z)=w(z)와 w_2=w(1-z)는 이 미분방정식의 선형독립인 두 해이다

  • 미분방정식의 특이점을 분석하면,  

    w_1(z)와 w_2(z)+\frac{1}{\pi}w_1(z)\log z 는 z=0에서 해석함수이고,

    w_1(1-z)=w_2(z)와 w_2(1-z)+\frac{1}{\pi}w_1(1-z)\log (1-z)=w_1(z)+\frac{1}{\pi}w_2(z)\log (1-z) 는 z=1에서 해석함수임을 알수있다

  • 미분방정식의 모노드로미 

    미분방정식의 해의기저 \{w_1,iw_2\}에 대하여 다음과 같은 모노드로미 표현을 얻을 수 있다

    z=0 주변의 루프는 \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

    z=1 주변의 루프는\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}

    따라서 미분방정식의 모노드로미군은 \Gamma(2)가 된다

 

 

 

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