접속 (connection)

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접속 (connection)

개요

방향미분의 일반화
벡터장 ${\mathbf v}$ 와 벡터장 ${\mathbf Y}$ 에 대해서 정의되며, 또다른 벡터장 $\nabla_{\mathbf v} {\mathbf Y}$ 을 얻는다

성질

벡터장 ${\mathbf X},{\mathbf Y}$ 와 함수 f에 대하여 다음 성질을 만족시킨다

$\begin{align}&\nabla_X(Y_1 + Y_2) = \nabla_XY_1 + \nabla_XY_2\ &\nabla_{X_1 + X_2}Y = \nabla_{X_1}Y + \nabla_{X_2}Y\ &\nabla_{X}(fY) = f\nabla_XY + X(f)Y\ &\nabla_{fX}Y = f\nabla_XY\end{align}$

접속형식

frame $\{X_i\}$ 에 대하여, 적당한 1-form $\omega_{i}^{j}$ 에 대하여, 다음과 같이 표현할수 있다

$\nabla X_i =\omega_{i}^{j}\otimes X_j$
여기서 1-form $\omega_{i}^{j}$ 는 벡터장 ${\mathbf v}$ 에 대하여 다음을 만족시킴

$\nabla_{\mathbf v} X_i = (\nabla X_i)({\mathbf v})= \omega_{i}^{j}\otimes X_j$
이때의 $\omega=(\omega_{i}^{j})$ 를 접속 1형식(1-form)이라고 부른다

곡률 2형식

리만 곡률 텐서 의 일반화
$\,\Omega=d\omega +\omega\wedge \omega$ 는 곡률 2형식(2-form) 이라 부른다

레비치비타 접속

리만다양체에 정의되는 접속
frame $\mathbf{e}=\{e_i\}$
접속형식을 통해서는 다음과 같이 표현할 수 있다

$\nabla_{e_i} e_j =\sum_{k=1}^{n} \omega_{j}^{k}(e_i) e_k$

즉 $\omega_{j}^{k}(e_i)={\Gamma^k}_{ij}$
크리스토펠 기호를 통해 표현할수 있다

$\nabla_{e_i}e_j = \sum_{k=1}^n\Gamma_{ij}^ke_k$

Cartan structural equation

1st Cartan structural equation
2n Cartan structural equation
Curvature form of Cartan connections
Curvature by Cartan's method?
http://planetmath.org/encyclopedia/CartanEstructuralEquations.html
http://stop.itp.tuwien.ac.at:8080/grumiller/projects/myself/thesis/htmlversion/node72.html
$\nabla_X E_i = \omega_i^j(X) E_j$

역사

http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
수학사연표

메모

http://mathstat.carleton.ca/~ckfong/S43.pdf
Moussiaux, A., 와/과Ph. Tombal. 1988. “Geometric calculus: A new computational tool for Riemannian geometry”. International Journal of Theoretical Physics 27 (5): 613-621. doi:10.1007/BF0066884

관련된 항목들

수학용어번역

단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
발음사전 http://www.forvo.com/search/Levi-Civita
대한수학회 수학 학술 용어집
- http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
남·북한수학용어비교
대한수학회 수학용어한글화 게시판

사전 형태의 자료

http://ko.wikipedia.org/wiki/
http://en.wikipedia.org/wiki/connection_form
http://www.wolframalpha.com/input/?i=
NIST Digital Library of Mathematical Functions
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

관련논문

The Geometry of Connections
- R. S. Millman and Ann K. Stehney, The American Mathematical Monthly, Vol. 80, No. 5 (May, 1973), pp. 475-500

http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
http://www.ams.org/mathscinet
http://dx.doi.org/

관련도서

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