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    수학이 알고싶은 중고대딩들을 위한 수학 노트

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랜덤워크(random walk)

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이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

 

개요

  • 도박사의 파산(gambler's ruin)

  • 브라운 운동

 

 

도박사의 파산

 

 

(정리) 

A,B가 각각 n_1,n_2만큼의 돈을 가지고 있고, 각각의 게임에서 A가 이길확률을 p, B가 이길확률을 q=1-p라 두자. 한 사람이 파산할 때까지 경기를 반복할 경우, A,B가 파산할 확률은 각각 다음과 같다.

p\neq \frac{1}{2} 일 때, 

P_A= \frac{(\frac{q}{p})^{n_1}-(\frac{q}{p})^{n_1+n_2}}{1-(\frac{q}{p})^{n_1+n_2}}

P_B= \frac{1-(\frac{q}{p})^{n_1}}{1-(\frac{q}{p})^{n_1+n_2}}

 

p= \frac{1}{2}일 때, 

P_A= \frac{{n_2}}{{n_1+n_2}}

P_B= \frac{{n_1}}{{n_1+n_2}}

 

 

(증명)

A,B가 가진돈을 합하여 N=n_1+n_2, 상수이다.

A가 n개의 동전을 가진 상태에 있을때, 파산할 확률을 P_n이라 두자. 

점화식 P_n=pP_{n+1}+qP_{n-1}이 성립한다.P_0=1, P_{n_1+n_2}=0.

선형점화식이므로, 이차방정식 px^2-x+q=0의 해를 구하면, 1과 q/p 를 얻는다.

(i) p\neq \frac{1}{2} 인 경우는, 적당한 상수 \alpha,\beta에 대하여 P_n=\alpha+\beta(\frac{q}{p})^n 의 꼴로 쓸 수 있다. 

P_0=1, P_{n_1+n_2}=0 을 이용하여, 상수 \alpha,\beta를 구할 수 있다.

P_n= 1-\frac{1-(\frac{q}{p})^{n}}{1-(\frac{q}{p})^{N}} 를 얻는다. 

(ii) p= \frac{1}{2} 인 경우, 적당한 상수 \alpha,\beta에 대하여 P_n=\alpha+\beta n 의 꼴로 쓸 수 있다.

P_0=1, P_{n_1+n_2}=0 을 이용하면, \alpha = 1, \beta =-\frac{1}{N}를 얻는다.

P_n= 1-\frac{n}{N} 를 얻는다.  ■

 

 

응용

  • A를 카지노, B를 소량의 돈을 가지고 온 관광객이라고 하자. 

  • A의 돈은 무한대로 볼 수 있으므로, B가 계속 게임을 한다고 가정할 경우, 결국 돈을 다 잃고 나오기 쉽다. 

 

 

 

동전던지기

  • 앞뒷면이 나올 확률을 가진 동전   

  • 원점에서 출발하여 1차원 격자점에서 동전던지기의 결과를 따라 주변의 격자점으로 움직일 때, 다시 원점으로 돌아올 확률과 기대값

  • nearest-neighbor random walk

  • 앞면이 나올 확률은 p, 왼쪽으로 이동

  • 뒷변이 나올 확률은 q, 오른족으로 이동

 

 

 

재미있는 사실

 

  • Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
  • 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=

 

 

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