매듭이론 (knot theory)

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• 매듭이론 (knot theory)

개요

• 매듭(knot)

  • 3차원 상에 놓인 원과 위상동형인 곡선, 또는 3차원 상에 놓인 자기자신과 만나지 않는 닫힌 곡선
• 고리(link)

• 동위(isotopy)

  • 3차원 상에서 매듭을 끊지 않는 연속적인 변형
• 매듭 diagram
• 라이데마이스터 변형
• 20세기말에 통계역학, 양자군, 양자장론과의 관계가 발견되어 큰 발전

• 중요 미해결 문제

  • Does there exist a knot in R3, different from the unknot , whose Jones polynomial is equal to 1?”

중요한 문제

• 주어진 두 매듭이 동위관계에 있는지를 판단하는 문제
• 매듭의 분류

매듭과 고리의 예

• trivial 매듭 (unknot)
• 호프 링크 (Hopf link)
• 화이트헤드 링크(Whitehead link)
• 8자매듭(figure eight)
• 세잎매듭(trefoil)

• 고르디우스의 매듭(Goardian Knot)

  

매듭 diagram

• 3차원 공간에 놓인 매듭을 2차원 평면에 사영하여 얻어짐

라이데마이스터 변형

• 매듭 diagram 에 가하는 변형

• 매듭이 3차원 공간에서의 연속적인 변형을 통하여 다른 매듭으로 변하면, 매듭 diagram에 세가지 라이데마이스터 변형을 가하여 같은 결과를 얻을 수 있다

• 매듭으로부터 정의된 양이 불변량임을 증명하는데 흔히 사용

• 라이데마이스터 변형 1 - disapperanace of a little loop

• 라이데마이스터 변형 2 - twin crossing 의 제거

• 라이데마이스터 변형 3 - 크로싱 위로 thread의 이동

라이데마이스터 변형 I	라이데마이스터 변형 II	라이데마이스터 변형 III

불변량

• 동위관계에 있는 다항식에 대해서는 같은 값을 주는 양

• 동의관계에 있는 매듭에는 같은 다항식이 대응되나, 다항식이 같다고 매듭이 동위관계에 있다고는 말할수 없다

• 서로 다른 매듭을 구분할 수 있는 더 강력한 불변량을 찾는 것은 매듭이론의 중요한 주제이다

• 알렉산더-콘웨이 다항식

• HOMFLY 다항식

• 존스 다항식

• 바실리예프 다항식

• 실타래 관계를 이용하여 정의되는 경우가 많다

실타래 관계 (skein relation)

• 나머지 부분이 같고, 한 교차점에서만 다른 매듭의 oriented diagram을 실타래 diagram이라 한다

• 유향매듭 L이 있을때, 다음과 같이  을 정의한다

  

• 다항식으로 정의되는 여러 불변량들은 이 세 실타래들이 만족시키는 관계를 가지며, 이를 실타래 관계라 한다

• 불변량을 재귀적으로 정의할 수 있게 된다

알렉산더-콘웨이 다항식

• 각 매듭에 대해 정의되는 z를 변수로 가지는 정수계수다항식 

• 실타래 관계(skein relation)

  

  

존스 다항식

• 각 매듭에 대해 정의되는 를 변수로 가지는 정수계수 로랑다항식

• 실타래 관계(skein relation)

  

  

•  

홈플라이(HOMFLY) 다항식

• HOMFLY는 사람의 이름이 아니라, 발견자 여러 명의 머리글자이다

• 알렉산더-콘웨이 다항식과 존스 다항식의 일반화

• 매듭에 정의되는 이변수다항식 

• 실타래 관계

   

재미있는 사실

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
• 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=매듭이론

역사

• 1984년 존스 다항식
• 1988년 위튼이 존스 다항식을 양자장론의 틀로 설명[Witten1989]
• 1990년 존스, 위튼 필즈메달 수상
• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=knot+theory
• 수학사연표
•  

메모

• http://www.ams.org/featurecolumn/archive/knots3.html
• http://www.hanyang.ac.kr/admission/scholar/2004/13-ho/sub2_3.htm
• http://www.khugnews.co.kr/wiki/신문:169호_과학학술
• http://www.cs.toronto.edu/~mackay/conway.pdf

관련된 항목들

수학용어번역

• 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
• 발음사전 http://www.forvo.com/search/

• 대한수학회 수학 학술 용어집

  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=isotopy
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=skein
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=knot
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 남·북한수학용어비교
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/매듭_이론
• http://en.wikipedia.org/wiki/knot_theory
• http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_knot_theory_topics
• http://en.wikipedia.org/wiki/Link_(knot_theory)
• http://en.wikipedia.org/wiki/Reidemeister_move
• http://en.wikipedia.org/wiki/Skein_relation

• http://en.wikipedia.org/wiki/Alexander-Conway_polynomial
• http://en.wikipedia.org/wiki/Jones_polynomial
• http://en.wikipedia.org/wiki/HOMFLY_polynomial
• http://en.wikipedia.org/wiki/Planar_algebra

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions

• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

동영상 강연

• Knots and Quantum Theory

  • Edward Witten, December 15, 2010
  • 대중강연

관련논문과 소개글

• The Jones Polynomial

  • V.Jones, 2005-8

• 매듭론

  • 고기형, 대한수학회지 2000-11

• Knots and physics

  • Kauffman, 1989

• [Witten1989]Quantum field theory and the Jones polynomial

  • Edward Witten, Comm. Math. Phys. Volume 121, Number 3 (1989), 351-399

• On knot invariants related to some statistical mechanical models.

  • V. F. R. Jones, 1989

• A polynomial invariant for knots via von Neumann algebras

  • Vaughan F. R. Jones, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 12, Number 1 (1985), 103-111.

• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://www.ams.org/mathscinet
• http://dx.doi.org/

관련도서

• Knots: mathematics with a twist

  • A. B. Sossinsky

• The Geometry and Physics of Knots

  • Atiyah, Michael

• 도서내검색

  • http://books.google.com/books?q=
  • http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=

• 도서검색

  • http://books.google.com/books?q=knot+sossinsky
  • http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
  • http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=

관련링크와 웹페이지

• The KnotPlot Site

관련기사

• Unknotting knot theory

  • Julie Rehmeyer, ScienceNews, October 31st, 2008

• 마음을 엮는 매듭

  • 이광재, 광주드림, 2009-3-4

• Mathematicians Link Knot Theory to Physics

  • GINA KOLATA, NYT, February 21, 1989

• 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)

  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=매듭이론
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=매듭론
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=

블로그

• Jones’ Polynomial

  • Tangled web, 2009-08-06

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  • http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
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