가해군(solvable group)

유한군이 다음 조건을 만족하는 부분군의 열을 가질 때, 가해군이라 한다

(1) $G=G_0 \supset G_1 \supset G_2 \supset \cdots \supset G_m=\{\text{id}\}$

(2) $G_i/G_{i+1}$ 는 순환군

(정리)

체 F는 적당한 primitive n-th root of unity를 모두 가진다고 가정하자.

의 거듭제곱근 체확장 에 대하여 $G=\text{Gal}(K/F)$ 는 가해군이다.

(증명)

거듭제곱근 체확장(radical extension) 의 타워가 다음과 같이 주어졌다고 하자.

$F=F_0 \subset F_1 \subset F_2 \subset \cdots \subset F_r=K$

자연수 $n_1,\cdots,n_r$ 이 존재하여, $a_1^{n_1}\in F$ 이고 $1<i\leq r$ 에 대하여 $a_i^{n_i} \in F(a_1,a_2,\cdots,a_{i-1})$

이 체확장의 타워로부터 $G=\text{Gal}(K/F)$ 의 부분군으로 이루어진 타워를 얻는다

$G=G_0=\text{Gal}(K/F_{0}) \supset \text{Gal}(K/F_{1}) \supset \text{Gal}(K/F_{2}) \supset \cdots \supset \text{Gal}(K/F_{r})=\{\text{id}\}$

$G_i=\text{Gal}(K/F_{i})$ 로 두자

갈루아 이론의 기본정리에 의하여, 다음을 얻는다

$G_i/G_{i+1}=\text{Gal}(K/F_{i})/\text{Gal}(K/F_{i+1})\cong \text{Gal}(F_{i+1}/F_{i})\cong C_{n_i}$

따라서 $G=\text{Gal}(K/F)$ 는 가해군이다. ■

단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
발음사전 http://www.forvo.com/search/
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