선형점화식

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선형점화식

개요

선형점화식은 선형 미분방정식의 이론과 유사한 점이 많다.
선형대수학이 배경이 되는 이론이다

이계 선형점화식

$pa_{n+2} + qa_{n+1} + ra_n = 0$ 꼴의 점화식
- 일 때
  - 잘 정리하면 $a_{n+2} - a_{n+1} = r(a_{n+1} - a_n)$ 의 형태로 만들 수 있다. 그러면 계차수열 $b_n = a_{n+1} - a_{n}$ 에 대한 등차수열이라고 생각하고, 을 구한다.
  - 계차수열을 알 때 일반항을 구하는 건 할 수 있지?
- $p+q+r \ne 0$ 일 때 : (교육 과정 외, 이 점화식만은 외우는 것을 권장함. 유도 과정이 너무 길다.)
  - 결론부터 말하자면,
    - 의 두 근을 $\alpha, \beta$ 라 하면, $a_n = A\alpha^{n-1} + B\beta^{n-1}$ 꼴이며, 초기항 두 개를 아는 경우 상수를 찾을 수 있다.
    - 중근 $\alpha$ 를 가지는 경우에는 $a_n = A\alpha^{n-1} + Bn\alpha^{n-1}$ 꼴이 된다.
  - 의 두 근 $\alpha, \beta$ 에 대하여, $p(\alpha+ \beta) = -q,\quad p(\alpha \beta) = r$ 이다. (근과 계수와의 관계) 그러므로
    
    $a_{n+2} - (\alpha + \beta)a_{n+1} + \alpha \beta a_n = 0$ 라고 쓸 수 있다.
    
    이제 $a_{n+2} - \alpha a_{n+1} = \beta(a_{n+1} -\alpha a_n)$ 으로 쓸 수 있다. $(a_{n+1} -\beta a_n)$ 에 대한 등비수열을 풀기.
    
    $a_{n+2} - \beta a_{n+1} = \alpha (a_{n+1} -\beta a_n)$ 로도 쓸 수 있다. $(a_{n+1} -\alpha a_n)$ 에 대한 등비수열을 풀기.
    
    연립해서 $a_{n+1}$ 을 소거하면 끝! 중근을 가지는 경우에 대한 유도는 독자에게 맡긴다.
    
    이 점화식을 인 점화식에 적용해서 풀지 말라는 법도 없다. 한 근이 무조건 1 이 나와서, (등비수열) + (상수) 꼴의 일반항이 나온다.
  - ex) 피보나치 수열 $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$ 의 일반항을 구하시오. ()
$pa_{n+2} + qa_{n+1} + ra_n = b_n$ 꼴의 점화식
- 양변에 적당히 에 대한 식을 더해서 공비 에 대한 등비수열 꼴로 만들 수 있는 경우가 많다.

재미있는 사실

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