5차방정식의 근의 공식과 아벨의 증명

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개요

5차방정식의 근의 방정식이 존재하지 않음에 대한 아벨(1802 – 1829)의 증명(에 가까운 증명)
이 증명은 학부에서 배우는 표준적인 증명과는 성격이 약간 다르다

증명의 개요

증명은 크게 세 부분으로 구성
- 5차 방정식의 해를 거듭제곱근기호를 써서 표현하는 경우, 근의 공식이 갖는 일반적인 형태
- 거듭제곱근의 기호를 써서 표현할 때 등장하는 수를 방정식의 해의 유리함수로 표현할 수 있다는 사실의 증명
- 위의 두 사실 사이의 긴장을 이용하여 모순을 이끌어내는 부분

3차 방정식의 근의 공식

$x_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}$

$x_2=\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}$

$x_3=\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}$

근의 공식이 갖는 일반적인 형태의 이해

위 3차 방정식의 근의 공식 을 다른 형태로 표현해 보자

$A=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}$ , $B=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}$

$A^3=-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}$ , $1/A^3=\frac{27}{p^3}\cdot (\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}})$

$AB=\sqrt[3]{-\frac{p^3}{27}}=-\frac{p}{3}$

$B=-\frac{p}{3A}=-\frac{pA^2}{3A^3}=-\frac{9(\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}})}{p^2}A^2$

따라서,

$x_1=A+B=A-\frac{9(\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}})}{p^2}A^2$
거듭제곱근 체확장의 개념을 도입하는 것이 유용하다

5차방정식 근의 공식의 불가능성 증명

정리 0.

소수 p 에 대하여 의 거듭제곱근 체확장 $R=F(\sqrt[p]a)$ 이 있다고 하자.

원소 $v\in R-F$ 에 대하여, 다음이 성립한다.

(1) $\rho, v_0,v_1=1, v_2,v_3, \cdots, v_{p-1} \in F$ 이 존재하여,

(2) $v=v_0+{\sqrt[p]\rho}+v_2{\sqrt[p]\rho^2}+v_3{\sqrt[p]\rho^3}++\cdots+v_{p-1}{\sqrt[p]\rho^{p-1}}$ 형태로 표현가능하다.

(증명)

$u_0,u_1, u_2,u_3, \cdots, u_{p-1} \in F$ 가 존재하여 $v=u_0+u_1{\sqrt[p]a}+u_2{\sqrt[p]a^2}+u_3{\sqrt[p]a^3}++\cdots+u_{p-1}{\sqrt[p]a^{p-1}}$ 로 쓸 수 있다.

$u_i\sqrt[p]a^i\neq 0$ 인 i가 적어도 하나 존재한다. $\sqrt[p]\rho=u_i\sqrt[p]a^i$ , 즉 $\rho=u_i^p a^i$ 로 두면 된다. ■

정리 1.

소수 p 에 대하여 의 거듭제곱근 체확장 $R=F(\sqrt[p]a)$ 이 있다고 하자.

원소 $v\in R-F$ 가 F의 계수를 가지는 방정식의 해라고 하고, 정리 0에 따라 $v=v_0+{\sqrt[p]\rho}+v_2{\sqrt[p]\rho^2}+v_3{\sqrt[p]\rho^3}++\cdots+v_{p-1}{\sqrt[p]\rho^{p-1}}$ 로 꼴로 쓸 수 있다.

그러면, 이 방정식의 p개의 해 $v=\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3, \cdots, \alpha_{p}$ 는 모두 R의 원소이며, $\rho, v_0,v_1=1, v_2,v_3, \cdots, v_{p-1} \in F$ 는 모두 $\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3, \cdots, \alpha_{p}$ 의 유리함수 표현으로 쓸 수 있다.

(증명)

생략. ■

예)

$\alpha_1=v_0+u+v_2u^2$

$\alpha_2=v_0+\zeta u+v_2\zeta^2u^2$

$\alpha_3=v_0+\zeta^2 u+v_2\zeta u^2$

$v_0=\frac{1}{3}(\alpha_1+\zeta^2\alpha_2+\zeta \alpha_3)$

$u=\frac{1}{3}(\alpha_1+\zeta^2\alpha_2+\zeta \alpha_3)$

이제 5차방정식 $x^5 - s_{1} x^{4} + s_{2} x^{3} -s_{3}x^{2}+s_{4} x - s_5= 0$ 의 해를 $x_1,x_2,\cdots,x_5$ 라 하자. 복소수체에 방정식의 계수들을 넣어 만들어진 체 $F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5)$ 를 정의하자.

정리 2.

이 5차방정식의 한 해 v를 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현할 수 있다고 가정하자. 그러면 다음이 성립한다.

(1) $F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5)$ 의 적당한 거듭제곱근 체확장 과 적당한 소수 p, 원소 $\rho, v_0,v_1=1, v_2,v_3, \cdots, v_{p-1} \in F$ 이 존재하여,

(2) $v=v_0+{\sqrt[p]\rho}+v_2{\sqrt[p]\rho^2}+v_3{\sqrt[p]\rho^3}++\cdots+v_{p-1}{\sqrt[p]\rho^{p-1}}$ 형태로 표현가능하다.

(증명)

정리 0을 반복해서 사용. ■

예)

2차 방정식의 근의 공식

$x_1=\frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ , $x_2=\frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
3차 방정식의 근의 공식

$x_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}$

$x_2=\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}$

$x_3=\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}$

정리 3. (theorem of natural irrationalities)

$v_0,v_2,v_3,\cdots, v_{p-1},\rho$ 는 방정식의 해 $x_1,x_2,\cdots,x_5$ 의 유리함수로 표현할 수 있다.

예)

2차 방정식의 근의 공식

의 해를 라 하면, $\sqrt{b^2-4ac}=x_1-x_2$ 이다.
3차, 4차 방정식의 근의 공식

(증명)

체확장의 높이에 따른 귀납법을 사용하자.

높이가 1이면, 정리0에 의하여, 적당한 소수 l에 대하여 $R=F(\sqrt[l]a)$ 의 형태로 쓸 수 있다. 정리 1을 적용하면, a는 $x_1,x_2,\cdots,x_5$ 의 유리함수로 표현가능하며, 따라서 모든 $R=F(\sqrt[l]a)$ 의 원소를 $x_1,x_2,\cdots,x_5$ 의 유리함수로 표현할 수 있다. $v_0,v_2,v_3,\cdots, v_{p-1},\rho$ 는 모두 R의 원소이므로, 마찬가지로 $x_1,x_2,\cdots,x_5$ 의 유리함수로 쓸 수 있다.

이제 체확장의 높이가 2이상이면 , 의 거듭제곱근 체확장 R_1 이 존재하여, 적당한 소수 l에 대하여 $R=R_1(\sqrt[l]u)$ 의 형태로 쓸 수 있다.

귀납법의 가정에 의하여, 체확장 R_1 의 모든 원소들은 방정식의 해 $x_1,x_2,\cdots,x_5$ 의 유리함수로 표현가능하다.

이제 $R=R_1(\sqrt[l]u)$ 에 정리 1을 적용하면, u는 $x_1,x_2,\cdots,x_5$ 의 유리함수로 표현가능하며 따라서 R의 모든 원소는 $x_1,x_2,\cdots,x_5$ 의 유리함수로 쓸 수 있다. ■

정리 4.

$n\geq 5$ 라 하자. 체 $\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_n)$ 의 원소 u,a 가 u^p= a 를 만족시킨다고 하자. a가 $\sigma=(123)$ , $\tau=(345)$ 에 의해 불변이면. u도 역시 $\sigma=(123)$ , $\tau=(345)$ 에 의해 불변이다.

(증명)

$\chi$ 를 u에 의해 정의되는 character 라 하자.

$\sigma(u)=\chi(\sigma)u$

$\tau(u)=\chi(\tau)u$

$\tau\sigma=(12453)$

$\tau\sigma^2=(14532)$

이므로 $\chi(\sigma)=1$ , $\chi(\tau)=1$ 이다. ■

노트. 여기가 $n\geq 5$ 조건이 필요한 부분이다.

정리 5.

$F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5) \subset R \subset K=\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_5)$ 인 F의 거듭제곱근 체확장 은 $\sigma=(123)$ , $\tau=(345)$ 에 의해 불변이다.

(증명)

체확장의 높이에 따른 귀납법을 사용하자.

높이가 1이면, 정리0에 의하여, $R=F(\sqrt[p]a)$ 의 형태로 쓸 수 있다. 여기에 정리 3을 적용하면, 체확장 은 $\sigma=(123)$ , $\tau=(345)$ 에 의해 불변임을 알 수 있다.

이제 체확장의 높이가 2이상이면 , 의 거듭제곱근 체확장 R_1 이 존재하여, 적당한 소수 p 에 대하여 $R=R_1(\sqrt[p]u)$ 의 형태로 쓸 수 있다. 귀납법의 가정에 의하여, 체확장 R_1 은 $\sigma=(123)$ , $\tau=(345)$ 에 의해 불변이다. $R=R_1(\sqrt[p]u)$ 에 정리 4을 적용하면, 체확장 은 $\sigma=(123)$ , $\tau=(345)$ 에 의해 불변이다. ■

정리 6. (5차방정식의 근의 공식의 불가능성)

(증명)

일반적인 5차방정식 $x^5 - s_{1} x^{4} + s_{2} x^{3} -s_{3}x^{2}+s_{4} x - s_5= 0$ 의 근의 공식이 존재한다고 하고, 다섯 해를 $x_1,x_2,\cdots,x_5$ 라 하자.

정리 2에 의하여, $F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5)$ 의 적당한 거듭제곱근 체확장 과 원소 $v_0,v_2,v_3,\cdots, v_{p-1},\rho$ 이 존재하여, $x_1=v_0+{\sqrt[p]\rho}+v_2{\sqrt[p]\rho^2}+v_3{\sqrt[p]\rho^3}++\cdots+v_{p-1}{\sqrt[p]\rho^{p-1}}$ 의 꼴로 쓸 수 있다.

정리 3에 의하여, $F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5) \subset R \subset K=\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_5)$ 를 가정할 수 있다.

정리 5에 의하여, 거듭제곱근 체확장 과 원소 $v_0,v_2,v_3,v_4,\rho \in R$ 는 모두 $\sigma,\tau$ 에 의해 불변이다. 정리 5를 한번 더 적용하면, $\sqrt[p]\rho$ 도 역시 $\sigma,\tau$ 에 의하여 불변이다.

따라서 $x_1=v_0+{\sqrt[p]\rho}+v_2{\sqrt[p]\rho^2}+v_3{\sqrt[p]\rho^3}++\cdots+v_{p-1}{\sqrt[p]\rho^{p-1}}$ 의 우변은 $\sigma$ 에 의하여 불변이다. 그러나 x_1 은 $\sigma$ 에 의하여 불변일 수 없으므로 모순이다. ■