5차방정식의 근의 공식과 갈루아 이론

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5차방정식의 근의 공식과 갈루아 이론

개요

갈루아 이론 을 통한 5차방정식의 근의 공식의 불가능성 증명

순환체확장

순환 체확장(cyclic extension) 항목에서 가져옴
체와 그 갈루아체확장 에 대하여 갈루아군 $\text{Gal}(K/F)$ 이 순환군이면, 이 체확장을 순환체확장이라 부름

(정리)

가 primitive n-th root of unity $}\zeta_n$ 를 포함한다 하자.(가령 가 복소수체를 포함하는 경우)

가 F의 순환체확장이면, 적당한 원소 $a\in F$ 가 존재하여, K= F(a) 와 $a^n\in F$ 를 만족시킨다.

(증명)

힐버트 정리 90... 또는

$\text{Gal}(K/F)$ 가 $\sigma$ 에 의하여 생성되는 순환군이라 하자.

에 정의된 (-)선형사상 $\tau=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i$ 는 $\{\sigma^i\}$ 의 선형독립성에 의하여, 0이 아니다.

따라서 $\tau(b)\in K\neq 0$ 인 $b\in K$ 가 존재한다.

$a=\tau(b)=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i(b)$ 로 두면,

$\sigma(a)=\sigma(\tau(b))=\sigma(\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i(b))=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^{i+1}(b)=\zeta_n^{-1}\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^{i+1}\sigma^{i+1}(b)=\zeta_n^{-1}a$

따라서 $[F(a):F]\geq n$ 임을 알 수 있고, [K:F]=n 으로부터 K= F(a) 를 얻는다.

한편 $\sigma(a)=\zeta_n^{-1}a$ 이므로, $\sigma(a^n)=}a^n$ 이 된다. 따라서 $a^n\in F$ . ■

거듭제곱근 체확장(radical extension)

거듭제곱근 체확장(radical extension) 에서 가져옴
기본체
다음조건을 만족시키는 의 체확장 $K=F(a_1,a_2,\cdots,a_r)$ 를 거듭제곱근 체확장이라 한다

자연수 $n_1,\cdots,n_r$ 이 존재하여, $a_1^{n_1}\in F$ 이고 $1<i\leq r$ 에 대하여 $a_i^{n_i} \in F(a_1,a_2,\cdots,a_{i-1})$

풀어쓰면 다음과 같다

원소 $b_1\in F$ 와 자연수 에 대하여, 거듭제곱근 $a_1=\sqrt[n_1]b_1$ 를 추가하여 얻어지는 체확장 $F_1=F(a_1)=F(\sqrt[n_1]b_1)$

원소 $b_2\in F_1$ 와 자연수 에 대하여, 거듭제곱근 $a_2=\sqrt[n_2]b_2$ 를 추가하여 얻어지는 체확장 $F_2=F_1(b_2)=F_1(\sqrt[n_2]a_2)$

이러한 체확장을 유한번 반복하여 얻어지는 의 체확장을 거듭제곱근 체확장이라 한다
예

$\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{Q}(\sqrt{2})\subseteq\mathbb{Q}(\sqrt{2})(\sqrt{\sqrt{2}})=\mathbb{Q}(\sqrt[4]2)$

$\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{Q}(\sqrt{2})\subseteq\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$