5차방정식의 근의 공식과 갈루아 이론

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개요

 

 

순환체확장

 

 

 

(정리)

F가 primitive n-th root of unity }\zeta_n를 포함한다 하자.(가령 F가 복소수체를 포함하는 경우)

K가 F의 순환체확장이면, 적당한 원소 a\in F 가 존재하여, K= F(a)와 a^n\in F 를 만족시킨다.

 

 

 

(증명)

힐버트 정리 90... 또는

\text{Gal}(K/F) 가 \sigma에 의하여 생성되는 순환군이라 하자.

K에 정의된 (F-)선형사상 \tau=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i는 \{\sigma^i\}의 선형독립성에 의하여,  0이 아니다.

따라서 \tau(b)\in K\neq 0  인 b\in K가 존재한다. 

a=\tau(b)=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i(b)로 두면,

 \sigma(a)=\sigma(\tau(b))=\sigma(\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^i(b))=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^i\sigma^{i+1}(b)=\zeta_n^{-1}\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^{i+1}\sigma^{i+1}(b)=\zeta_n^{-1}a

따라서 [F(a):F]\geq n 임을 알 수 있고, [K:F]=n으로부터 K= F(a)를 얻는다.

한편  \sigma(a)=\zeta_n^{-1}a 이므로, \sigma(a^n)=}a^n이 된다. 따라서 a^n\in F. ■

 

 

 

거듭제곱근 체확장(radical extension)

 

 

거듭제곱근 체확장의 갈루아군

 

 

거듭제곱근 체확장과 가해군

 

(정리)

체 F는 적당한 primitive n-th root of unity를 모두 가진다고 가정하자.

 F의 거듭제곱근 체확장 K에 대하여  G=\text{Gal}(K/F)는 가해군이다. 

 

(증명)

거듭제곱근 체확장(radical extension) 의 타워가 다음과 같이 주어졌다고 하자. 

F=F_0 \subset F_1 \subset F_2 \subset \cdots \subset F_r=K

자연수 n_1,\cdots,n_r이 존재하여, a_1^{n_1}\in F 이고 1<i\leq r에 대하여 a_i^{n_i} \in F(a_1,a_2,\cdots,a_{i-1})

이 체확장의 타워로부터 G=\text{Gal}(K/F)의 부분군으로 이루어진 타워를 얻는다

G=G_0=\text{Gal}(K/F_{0}) \supset \text{Gal}(K/F_{1}) \supset \text{Gal}(K/F_{2}) \supset \cdots \supset \text{Gal}(K/F_{r})=\{\text{id}\}

G_i=\text{Gal}(K/F_{i})로 두자

갈루아 이론의 기본정리에 의하여, 다음을 얻는다

G_i/G_{i+1}=\text{Gal}(K/F_{i})/\text{Gal}(K/F_{i+1})\cong \text{Gal}(F_{i+1}/F_{i})\cong C_{n_i}

따라서 G=\text{Gal}(K/F)는 가해군이다. ■

 

 

역사

 

 

 

메모

 

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