10k+1 꼴의 소수는 무한히 많다

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• 10k+1 꼴의 소수는 무한히 많다

 

 

개요

• 초등정수론을 통한 10k+1 꼴의 소수의 무한성 증명
• 똑같은 증명을 2pk+1 (p : 소수) 꼴의 소수의 무한성을 보이는데 사용할 수 있다.
• 더 일반적으로 등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리 가 성립한다

 

 

보조정리

p는 홀수인 소수이다.  의 소인수 중 p 가 아닌 것은  꼴임을 보여라.

 

(증명)

인 q가 의 소인수라 하자.

이므로, 는 언제나 홀수이다.

따라서

이제 임을 보이자.

이면, 이므로, q는 약수일 수 없다. (이므로)

이라 하자. q는 의 약수이므로,  .

p는 소수이므로 을 만족시키는 k 중에서 p가 가장 작은 수이다. 따라서 오일러의 정리에 의해 p는 q-1을 나눈다.

따라서 .

그러므로 q는 꼴이다. ■

 

 

정리

10k+1 꼴의 소수는 무한히 많다.

 

(증명)

10k+1 꼴의 소수가 유한하다고 가정하고 그 집합을 이라 하자.

, 로 두고, 을 생각하면, 는 각 로 나눈 나머지가 1이다.

보조정리에 의해 는  가 아닌 10k+1 꼴의 소인수를 가진다.

이는 10k+1 꼴의 소수의 집합이 라는 사실에 모순이다. ■

 

 

 

재미있는 사실

• 2010년 3월 KAIST 정수론 개론 시험 문제로 출제되었다

 

 

실험

• p=5인 경우
• 아래는 각각 {n, , s의 약수}를 나타낸다.

1    5    {1,5}
2    31    {1,31}
3    121    {1,11,121}
4    341    {1,11,31,341}
5    781    {1,11,71,781}
6    1555    {1,5,311,1555}
7    2801    {1,2801}
8    4681    {1,31,151,4681}
9    7381    {1,11,61,121,671,7381}
10    11111    {1,41,271,11111}
11    16105    {1,5,3221,16105}
12    22621    {1,22621}
13    30941    {1,30941}
14    41371    {1,11,3761,41371}
15    54241    {1,11,4931,54241}
16    69905    {1,5,11,31,41,55,155,205,341,451,1271,1705,2255,6355,13981,69905}
17    88741    {1,88741}
18    111151    {1,41,2711,111151}
19    137561    {1,151,911,137561}
20    168421    {1,11,61,251,671,2761,15311,168421}

 

 

역사

 

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사연표
•  

 

 

메모

 

 

관련된 항목들

• 등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리

 

 

수학용어번역

• 단어사 전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
• 발음사 전 http://www.forvo.com/search/

• 대한수 학회 수학 학술 용어집

  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 남· 북한수학용어비교
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions

• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

 

 

관련논문

• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://www.ams.org/mathscinet
• http://dx.doi.org/

 

 

관련도서

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