10k+1 꼴의 소수는 무한히 많다

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개요

 

 

보조정리

p는 홀수인 소수이다. n^{p-1} + n^{p-2} +\cdots + 1 의 소인수 중 p 가 아닌 것은 2kp + 1 꼴임을 보여라.

 

(증명)

p\neq q인 q가 n^{p-1} + n^{p-2} +\cdots + 1의 소인수라 하자.

n^{p-1} + n^{p-2} +\cdots + 1\equiv (p-1)n+1 \pmod 2 이므로, n^{p-1} + n^{p-2} +\cdots + 1는 언제나 홀수이다.

따라서 q \equiv 1 \pmod 2

이제 q \equiv 1 \pmod p 임을 보이자.

n\equiv 1 \pmod q이면, n^{p-1} + n^{p-2} +\cdots + 1\equiv p \pmod q 이므로, q는 n^{p-1} + n^{p-2} +\cdots + 1 약수일 수 없다. (p\neq q이므로)

n\not\equiv 1 \pmod q이라 하자. q는 (n^{p-1} + n^{p-2} +\cdots + 1)(n-1)=n^p-1의 약수이므로,  n^p-1\equiv 0 \pmod q.

p는 소수이므로 n^k\equiv 1 \pmod q 을 만족시키는 k 중에서 p가 가장 작은 수이다. 따라서 오일러의 정리에 의해 p는 q-1을 나눈다.

따라서 q \equiv 1 \pmod p.

그러므로 q는 2kp + 1 꼴이다. ■

 

 

정리

10k+1 꼴의 소수는 무한히 많다.

 

(증명)

10k+1 꼴의 소수가 유한하다고 가정하고 그 집합을 \{q_1,q_2,\cdots,q_r\} 이라 하자.

p=5, n=q_1q_2\cdots q_r로 두고, n^{p-1} + n^{p-2} +\cdots + 1>5을 생각하면, n^{p-1} + n^{p-2} +\cdots + 1는 각 q_i로 나눈 나머지가 1이다.

보조정리에 의해 n^{p-1} + n^{p-2} +\cdots + 1는  q_1,q_2,\cdots,q_r 가 아닌 10k+1 꼴의 소인수를 가진다.

이는 10k+1 꼴의 소수의 집합이 \{q_1,q_2,\cdots,q_r\}라는 사실에 모순이다. ■

 

 

 

재미있는 사실

 

 

실험

1    5    {1,5}
2    31    {1,31}
3    121    {1,11,121}
4    341    {1,11,31,341}
5    781    {1,11,71,781}
6    1555    {1,5,311,1555}
7    2801    {1,2801}
8    4681    {1,31,151,4681}
9    7381    {1,11,61,121,671,7381}
10    11111    {1,41,271,11111}
11    16105    {1,5,3221,16105}
12    22621    {1,22621}
13    30941    {1,30941}
14    41371    {1,11,3761,41371}
15    54241    {1,11,4931,54241}
16    69905    {1,5,11,31,41,55,155,205,341,451,1271,1705,2255,6355,13981,69905}
17    88741    {1,88741}
18    111151    {1,41,2711,111151}
19    137561    {1,151,911,137561}
20    168421    {1,11,61,251,671,2761,15311,168421}

 

 

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