이계 선형 미분방정식

이 항목의 스프링노트 원문주소

개요

다음 형태로 주어지는 미분방정식

$\frac{d^2y}{dx^2}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=g(x)$

론스키안(Wronskian)

일차독립인 두 해, 에 대하여 다음과 같이 정의된다

$\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}$
정리

$\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}=\,c e^{-\int{p}\,dz}$

(증명)

$W=\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}=\,y_1y_2'-y_1'y_2$

W'=y_1'y_2'+y_1y_2''-y_1''y_2-y_1'y_2'=y_1(-py_2'-qy_2)-(-py_1'-qy_1)y_2=-p(y_1y_2'-y_1'y_2)=-pW

따라서 적당한 상수 c에 대하여, $W=\,c e^{-\int{p}\,dz}$ ■

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