열방정식

열의 전달을 기술하는 편미분방정식

$\frac{\partial u}{\partial t} -\beta\left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}\right)=0$
일반적으로 라플라시안을 사용하여 다음과 같이 표현

$\frac{\partial u}{\partial t} = \beta\nabla^2 u$
일차원 열방정식
- 유한한 길이의 막대
  - 자코비 세타함수 를 heat kernel 로 가진다
- 무한한 길이의 막대
  - 가우시안 을 heat kernel로 가진다

u(x,t)=X(x)T(t) 로 두자.

변수분리를 사용하자.

$X''(x)=K_{n}X(x)$

$T'(t)=\beta K_{n}T(t)$

여기서 $K_{n}=-(\frac{2\pi}{L})^2n^2$ , $n=0, \pm 1,\pm 2,\pm 3,\cdots$

$X_n(x)=Ae^{ \frac{2\pi i n}{L}}+Be^{- \frac{2\pi i n}{L}}$

$T_n(t)=e^{\beta K_{n} t}=e^{-\beta(\frac{2\pi}{L})^2n^2t}$

따라서 열방정식의 해는 $u_{n}(x,t)=e^{ \frac{2\pi i nx}{L}}e^{-\beta(\frac{2\pi}{L})^2n^2t$ 의 선형결합으로 나타낼 수 있다.

$u(x,t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{ \frac{2\pi i nx}{L}}e^{-\beta(\frac{2\pi}{L})^2n^2t$

여기서

$\hat{f}(n)=\int_{0}^{L}f(y)e^{-\frac{2\pi i ny}{L}}\,dy$ 는 푸리에 급수

유한한 길이의 막대에서의 경계-초기값 문제

$u(x,t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{ \frac{2\pi i nx}{L}}e^{-\beta(\frac{2\pi}{L})^2n^2t$

$\hat{f}(n)=\int_{0}^{L}f(y)e^{-\frac{2\pi i ny}{L}}\,dy$
$L=1,\beta=1/2\pi$ 로 두자.

$u(x,t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{2\pi i nx}e^{-2\pi n^2t}$

$\hat{f}(n)=\int_{0}^{1}f(y)e^{-2\pi i ny}\,dy$
위의 두 식을 함께 쓰면,

$u(x,t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{2\pi i nx}e^{-2\pi n^2t}=\int_{0}^{1}(\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-2\pi i ny}e^{2\pi i nx}e^{-2\pi n^2t}) f(y)\,dy=\int_{0}^{1}K(x-y,t)f(y)\,dy$

여기서 $K(x,t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{2\pi i nx}e^{-2\pi n^2t}$

heat kernel 로서의 세타함수를 얻는다
자코비 세타함수

$\vartheta (x,it)=1+2\sum_{n=1}^\infty \exp(-\pi n^2 t) \cos(2\pi nx)$

$\frac{\partial}{\partial t} \vartheta(x,it)=\frac{1}{4\pi} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \vartheta(x,it)$

무한한 길이의 막대를 가정 $-\infty<x<\infty$
초기조건 () 에서의 온도분포
$N(\mu,\sigma^2)$ 인 정규분포의 확률밀도함수는 다음과 같다 (정규분포와 그 확률밀도함수)

$\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$
heat kernel

$K(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \beta t}}\exp\left(-\frac{x^2}{4\beta t}\right)$
heat kernel 을 이용한 열방정식의 해

$u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(y)K(x-y,t)\,dy=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \beta t}}\int_{-\infty}^{\infty}f(y)\exp\left(-\frac{(x-y)^2}{4\beta t}\right)\,dy$
확률론적 이해 : $\beta=1/2$ 인 경우

$u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(y)K(x-y,t)\,dy=E[f(X_t)]$

여기서 는 를 따르는 확률변수