L-함수의 미분

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L-함수의 미분

개요

리만제타함수

리만제타함수

$\zeta'(0)=-\log{\sqrt{2\pi}}$

디리클레 L-함수의 미분

를 판별식으로 갖는 복소이차수체 에 대하여, 디리클레 L-함수는 다음을 만족시킴

$L_{d_K}'(1)=\frac{2\pi h_K(\gamma+\ln 2\pi)}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}-\frac{\pi}{\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})$

예

디리클레 베타함수

$K=\mathbb{Q}(i)$

$\beta'(1)=L_{-4}'(1)=\frac{\pi}{4}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)})$
$K=\mathbb{Q}(\omega)$ , $\omega^2+\omega+1=0$

$L_{-3}'(1)=\frac{\pi}{3\sqrt{3}}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{\sqrt{3}}\ln(\frac{\Gamma(1/3)}{\Gamma(2/3)})$

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