로그감마 함수

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로그감마 함수

개요

후르비츠 제타함수

Lerch의 공식 : 후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)의 미분

$\frac{\partial }{\partial s}\zeta(s,a)|_{s=0} =\log \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{2\pi}}$

적분표현

Binet's second expression

$\operatorname{Re} z > 0$ 일 때, $\log \Gamma(z)=(z-\frac{1}{2})\log z -z+\frac{1}{2}\log 2\pi+ 2\int_0^{\infty}\frac{\tan^{-1}(t/z)}{e^{2\pi t} -1}dt$

http://dlmf.nist.gov/5/9/ 참고

쿰머의 푸리에 급수

쿰머 (1847)

$\begin{eqnarray}\log\Gamma(x)=\log\sqrt{2\pi}-\frac{1}{2}\log(2\sin\pi x)+\frac{1}{2}(\gamma+2\log\sqrt{2\pi})(1-2x)+\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\log k}{k}\sin 2\pi kx \nonumber \\ =(\frac{1}{2}-x)(\gamma+\log 2)+(1-x)\log \pi -\frac{1}{2}\log(\sin\pi x)+\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\log k}{k}\sin 2\pi kx \nonumber \end{eqnarray}$

테일러 급수

로그감마 함수의 테일러 급수 (http://www.wolframalpha.com/input/?i=taylor+series+of+log+gamma(1%2Bx)+at+x%3D0)

$\log\Gamma(1+x) =-\gamma x+\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^k \frac{\zeta(k)}{k}x^k$
정수에서의 리만제타함수의 값

정적분

$\int_{0}^{1}\log\Gamma(x)\,dx=\log\sqrt{2\pi}$

$\int_{0}^{\frac{1}{2}}\log\Gamma(x+1)\,dx=-\frac{1}{2}-\frac{7}{24}\log 2+\frac{1}{4}\log \pi+\frac{3}{2}\log A$

A는 Glaisher–Kinkelin 상수

스털링 공식

스털링 공식

재미있는 사실

Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=

역사

http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
수학사연표

메모

관련된 항목들

후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function)

수학용어번역

단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
발음사전 http://www.forvo.com/search/
대한수학회 수학 학술 용어집
- http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
남·북한수학용어비교
대한수학회 수학용어한글화 게시판

사전 형태의 자료

http://ko.wikipedia.org/wiki/
http://en.wikipedia.org/wiki/
http://mathworld.wolfram.com/LogGammaFunction.html
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Loggamma
NIST Digital Library of Mathematical Functions
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

관련논문

Fourier series representations of the logarithms of the Euler gamma function and the Barnes multiple gamma functions
- Connon, Donal F, 2009
INTEGRALS OF POWERS OF LOGGAMMA
- TEWODROS AMDEBERHAN, MARK W. COFFEY, OLIVIER ESPINOSA, CHRISTOPH KOUTSCHAN, DANTE V. MANNA, AND VICTOR H. MOLL
Kummer's Formula for Multiple Gamma Functions
- Shin-ya Koyama, Nobushige Kurokawa, 2002

http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
http://www.ams.org/mathscinet
http://dx.doi.org/

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