다이로그 함수의 special value 계산

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개요

 

 

 

special value의 계산

\mbox{Li}_{2}(-1) 의 계산

반전공식에 x=-1 을 대입하여 얻을 수 있다.

 

\mbox{Li}_{2}(\frac{1}{2}) 의 계산

오일러의 반사공식에서 x=\frac{1}{2} 를 대입하여 얻을 수 있다.

또는 

\zeta(2)=\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6} 와 

\frac{\pi^2}{12}=\sum_{1}^{\infty}\frac{2}{(2n)^2}=\sum_{1}^{\infty}\frac{1+(-1)^n}{n^2}=\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n^2}+\sum_{1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}+\sum_{1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}

를 이용하여 보일 수 있다.

 

\mbox{Li}_{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2}) 과 \mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}) 의 계산

오일러의 반사공식에 x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}을 대입하면 다음을 얻는다.

\mbox{Li}_{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2})+\mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}) =\frac{\pi^2}{6}-\log(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})\log(\frac{3-\sqrt{5}}{2})

란덴의 항등식과 제곱공식을 활용하면 다음과 같은 항등식을 얻을 수 있다.

\mbox{Li}_2 (\frac{-x}{1-x})+\frac{1}{2}\mbox{Li}_2(x^2)-\mbox{Li}_2(-x) =-\frac{1}{2}(\log(1-x))^2

여기에 x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}을 대입하면 다음을 얻는다.

\frac{3}{2}\mbox{Li}_{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2})-\mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}) =-\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})

 

이제 위에서 얻어진 두 식을 통해 원하는 값을 계산할 수 있다. 

 

\mbox{Li}_{2}(\frac{1-\sqrt{5}}{2}) 의 계산

제곱공식\mbox{Li}_2(x^2)=2(\mbox{Li}_2(x)+\mbox{Li}_2(-x)) 에 x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} 를 대입하면, 

\mbox{Li}_{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2}) =2(\mbox{Li}_{2}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})+\mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})) 를 얻는다.

 

\mbox{Li}_{2}(\frac{-1-\sqrt{5}}{2}) 의 계산

반전공식에 x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}를 대입하면, \mbox{Li}_{2}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})+\mbox{Li}_{2}(\frac{-1-\sqrt{5}}{2}) =\frac{\pi^2}{6}-\frac{1}{2}\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2}) 를 얻는다.

 

 

 

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