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    수학이 알고싶은 중고대딩들을 위한 수학 노트

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다이로그 함수와 부정적분

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개요

 

 

오일러치환

  • 유리함수 R(x,y)와 Q(x,y)에 대하여 다음과 같은 적분에 대하여 오일러 치환을 사용할 수 있다

    \int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\log Q(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\,dx

  • c>0 일때, \sqrt{ax^2+bx+c}=xt+\sqrt{c} 로 치환

  • 예

    I=\int \frac{1}{x\sqrt{1+x^2}}\log(x+\sqrt{1+x^2})\,dx

     

    \sqrt{1+x^2}=xt+1

    x=\frac{2t}{1-t^2}

    I=\int\frac{1}{t}\{\log(1+t)-\log(1-t)\}\,dt

    =\operatorname{Li}_{2}(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x})-\operatorname{Li}_{2}(1-\frac{\sqrt{1+x^2}}{x})

 

 

여러가지 부정적분

 

\alpha\neq\gamma인 경우

\int\frac{\log(\alpha+t)}{\gamma+t}\,dt=\log(\alpha-\gamma)\log(\frac{\gamma+t}{\gamma})-\operatorname{Li}_{2}(\frac{\gamma+t}{\gamma-\alpha})+C

 

\int\frac{\log(\gamma+t)}{\gamma+t}\,dt=\frac{1}{2}\log^2(\gamma+t)+C

\int_{0}^{x}\frac{\log x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx=\frac{1}{2}\operatorname{Li}_2((\sqrt{1+x^2}-x)^2)+\frac{1}{2}\log^2(\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{2})

\int_{0}^{x}\frac{\log (1+x^2)}{\sqrt{1-x}}\,dx=\frac{1}{4}\operatorname{Li}_2(-x)+\frac{1}{2}\operatorname{Li}_2(\frac{2x}{1+x^2})-\operatorname{Li}_2(x)+\frac{1}{4}\log^2(1+x^2)-\log(1-x)\log(1+x^2)

\int_{0}^{x}\frac{\log x\log(x-1)}{x}\,dx=\operatorname{Li}_3(x)-\log x\operatorname{Li}_2(x)

 

 

재미있는 사실

 

  • Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
  • 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=

 

 

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