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    수학이 알고싶은 중고대딩들을 위한 수학 노트

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로그 적분(logarithmic integral)

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개요

  • 적분으로 정의되는 함수

    \operatorname{Li}(x)=\int_2^{x} \frac{1}{\log x}\,dx

 

 

로그적분의 초등함수 표현

  • 다음 리우빌의 정리를 이용하여, 불가능성을 증명할 수 있다 (부정적분의 초등함수 표현(Integration in finite terms) 참조)

    (정리 ) 리우빌, 1835

    f(x), g(x) 는 유리함수이면,  (단, g(x) 는 상수함수가 아님) 다음 두 명제는 동치이다.

    (i)\int f(x)e^{g(x)} \,dx 는 초등함수이다.

    (ii) 유리함수 R(x)가 존재하여 f(x)=R'(x)+R(x)g'(x) 를 만족시킨다.

  • 로그적분에의 적용

    (증명)

    \int \frac{1}{\log x} dx=\int \frac{e^{t}}{t}dt, t=\log x

    리우빌의 정리에 의하여, 

    미분방정식 \frac{1}{z}=R'(z)+R(z)를 만족시키는 유리함수 R(x)가 존재하지 않음을 보이면 된다. 

    먼저 유리함수 R(x)는 다항식이 될 수 없으므로, 두 다항식 p(x), q(x) (q(x)는 상수가 아님) 에 대하여, 기약형식

     R(x)=\frac{p(x)}{q(x)} 로 쓸 수 있다. 

    q(z)가 z=z_0에서 복소해를 갖는다고 하고, {\mu}\geq 1를 그 multiplicity로 두자. 

     z=z_0 근방에서 R(z)\sim (z-z_0)^{-\mu}, R'(z)\sim (z-z_0)^{-\mu-1} 이다.

    z=z_0 근방에서 R'(z)+R(z)\sim (z-z_0)^{-\mu-1}이고, \frac{1}{z} 는 0근방에서만 크기가 1인 특이점을 가지므로, 

    \frac{1}{z}=R'(z)+R(z)에 모순이다. ■

 

 

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