로그 적분(logarithmic integral)

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로그적분(logarithmic integral)

개요

적분으로 정의되는 함수

$\operatorname{Li}(x)=\int_2^{x} \frac{1}{\log x}\,dx$

소수정리
초등함수로 표현할 수 없다

로그적분의 초등함수 표현

다음 리우빌의 정리를 이용하여, 불가능성을 증명할 수 있다 (부정적분의 초등함수 표현(Integration in finite terms) 참조)

(정리 ) 리우빌, 1835

는 유리함수이면, (단, 는 상수함수가 아님) 다음 두 명제는 동치이다.

(i) $\int f(x)e^{g(x)} \,dx$ 는 초등함수이다.

(ii) 유리함수 가 존재하여 를 만족시킨다.
로그적분에의 적용

(증명)

$\int \frac{1}{\log x} dx=\int \frac{e^{t}}{t}dt$ , $t=\log x$

리우빌의 정리에 의하여,

미분방정식 $\frac{1}{z}=R'(z)+R(z)$ 를 만족시키는 유리함수 가 존재하지 않음을 보이면 된다.

먼저 유리함수 는 다항식이 될 수 없으므로, 두 다항식 (는 상수가 아님) 에 대하여, 기약형식

$R(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$ 로 쓸 수 있다.

가 에서 복소해를 갖는다고 하고, ${\mu}\geq 1$ 를 그 multiplicity로 두자.

근방에서 $R(z)\sim (z-z_0)^{-\mu}$ , $R'(z)\sim (z-z_0)^{-\mu-1}$ 이다.

근방에서 $R'(z)+R(z)\sim (z-z_0)^{-\mu-1}$ 이고, $\frac{1}{z}$ 는 0근방에서만 크기가 1인 특이점을 가지므로,

$\frac{1}{z}=R'(z)+R(z)$ 에 모순이다. ■

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