중심이항계수(central binomial coefficient)

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중심이항계수(central binomial coefficient)

개요

다음과 같은 이항계수로 정의

${2n \choose n}=\frac{(2n)!}{(n!)^2}$
동전을 2n 번 던질때, 앞뒷면이 각각 n 번 나올 확률을 표현할 때 등장
아페리가 ζ(3)는 무리수 임을 증명하는데 활용됨

중심이항계수의 근사식

http://planetmath.org/encyclopedia/AsymptoticsOfCentralBinomialCoefficient.html
드무아브르의 중심극한정리(iii) : 숫자 파이와 동전던지기 피타고라스의 창, 2008-7-12

동전을 2n 번 던질때, 앞뒷면이 각각 n 번 나올 확률은 수학적으로 다음과 같다.

$\frac{1}{2^{2n}}{2n\choose n} = \frac{1}{2^{2n}}{{(2n)!} \over {n!n!}}$

한편 월리스의 공식에서 일반항은 다음과 같은데,

$p_n ={1\over{2n+1}}\prod_{k=1}^{n} \frac{(2k)^4 }{((2k)(2k-1))^2}={1\over{2n+1}}\cdot {{2^{4n}\,(n!)^4}\over {((2n)!)^2}}$

따라서

$p_n ={1\over{2n+1}}\cdot {{2^{4n}\,(n!)^4}\over {((2n)!)^2}} \approx {1\over{2n}}\cdot {{2^{4n}\,(n!)^4}\over {((2n)!)^2}}$

이는 월리스의 공식을 다음과 같은 방식으로도 쓸 수 있다는 것을 말해준다.

$\frac{\pi}{2} =\lim_{n \to \infty} {1\over{2n}}\cdot {{2^{4n}\,(n!)^4}\over {((2n)!)^2}}$
그리고 이는 다음을 말해준다.

$\frac{1}{2^{2n}}{{(2n)!} \over {n!n!}}= \frac{1}{2^{2n}}{2n\choose n} \approx \frac{1}{\sqrt{\pi n}}$

급수와 중심이항계수

이항급수와 이항정리

$\frac{1}{\sqrt{1-4z}}=\sum_{n=0}^{\infty} {{2n}\choose {n}} z^n$
역삼각함수

$2(\arcsin x)^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}$

$\frac{2x \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n\binom{2n}{n}}$
카탈란 수열(Catalan numbers) 의 생성함수

$G(x)= \frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}{2n\choose n}x^n$

중심이항계수가 나타나는 급수

[Lehmer1985] 참조

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\binom{2n}{n}}=\frac{\pi\sqrt{3}}{9}$

(증명)

$\frac{2x \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n\binom{2n}{n}}$ 에서 $x=\frac{1}{2}$ 인 경우, $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\binom{2n}{n}}=\frac{\pi\sqrt{3}}{9}$ 를 얻는다. ■

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}\binom{2n}{n}}=\frac{\pi^2}{18}$

(증명)

$2(\arcsin x)^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}$ 에서 $x=\frac{1}{2}$ 인 경우, $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}\binom{2n}{n}}=\frac{\pi^2}{18}$ 를 얻는다. ■

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3\binom{2n}{n}}=\frac{2\pi}{3}\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{3})-\frac{4}{3}\zeta(3)=\pi\operatorname{Cl}_2(\frac{2\pi}{3})-\frac{4}{3}\zeta(3)=\frac{\pi\sqrt{3}}{18}(\psi^{(1)}(\frac{1}{3})-\psi^{(1)}(\frac{2}{3}))-\frac{4}{3}\zeta(3)$

여기서 $\operatorname{Cl}_2(\theta)$ 는 로바체프스키와 클라우센 함수, $\psi^{(1)}$ 는 트리감마 함수(trigamma function).

(증명)

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A145438

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3\binom{2n}{n}}=4\int_{0}^{\frac{1}{2}}(\arcsin x)^2}\frac{dx}{x}=-2\int_{0}^{\pi/3}x\log(2\sin \frac{x}{2})\,dx$

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+(arcsin+x)^2/x+dx+from+x%3D0+to+1/2

좌변 http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+1%2F%28m%5E3*binom%282m%2Cm%29%29+from+1+to+infinity

우변 http://www.wolframalpha.com/input/?i=-4*zeta(3)/3%2Bpi*sqrt(3)*(trigamma(1/3)-trigamma(2/3))/18

■

(Comtet의 공식)

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}=\frac{17\pi^4}{3240}$

(증명)

$2(\arcsin x)^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}$ 의 양변을 로 나눈뒤, 다음과 같은 적분을 구하자.

$\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{u}\frac{(\arcsin x)^2}{x}\,dx\,\frac{du}{u}=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{u}\frac{(2x)^{2n-1}}{n^2\binom{2n}{n}}\,dx\,\frac{du}{u}=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{(2u)^{2n}}{4n^3\binom{2n}{n}}\,\frac{du}{u}$

우변으로부터 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{8n^4\binom{2n}{n}}$ 을 얻는다.

한편

$\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{u}\frac{(\arcsin x)^2}{x}\,dx\,\frac{du}{u}=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{x}^{\frac{1}{2}}\frac{(\arcsin x)^2}{xu}\,du\,dx=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\log 2x\frac{(\arcsin x)^2}{x}\,dx$ 이므로,

$x=\sin\frac{t}{2}$ 로 치환하면,

$\int_{0}^{\frac{1}{2}}\log 2x\frac{(\arcsin x)^2}{x}\,dx=\frac{1}{4}\int_{0}^{\pi/3}x\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx$ 를 얻는다.

따라서,

$\frac{1}{8}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}=\frac{1}{4}\int_{0}^{\pi/3}x\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx$ 이다.

이제 로그 사인 적분 (log sine integrals) 에서 얻은 다음 결과를 사용하자.

$\int_{0}^{\pi/3}x\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx=\frac{17\pi^4}{6480}$

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}=\frac{17\pi^4}{3240}$ 를 얻는다. ■

원주율의 유리수 근사와 중심이항계수

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\frac{\pi}{2}+1$

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\pi+3$

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\frac{7\pi}{2}+11$

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^3 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\frac{35\pi}{2}+55$

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^4 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=113\pi+355$

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{5} 2^{n}}{\binom{2n}{n}} = \frac{1787\pi}{2}+2807$

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{6} 2^{n}}{\binom{2n}{n}} = \frac{16717\pi}{2}+26259$

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{10} 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=229093376\pi+719718067$

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+1%2F%28m%5E3*binom%282m%2Cm%29%29+from+1+to+infinity

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+m^6*2^m/(binom(2m,m))+from+1+to+infinity

일반적으로 $k\in\mathbb{N}$ 에 대하여,

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{k} 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=a\pi+b$ , (a와 b는 유리수) 형태로 주어진다. [Lehmer1985] 참조

리만제타함수

$\zeta(2)=3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}\binom{2n}{n}}$

$\zeta(3) = \frac{5}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^3\binom{2n}{n}}$

$\zeta(4) = \frac{36}{17} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}$

재미있는 사실

Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=

역사

http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
수학사연표

메모

[Lehmer1985]

에는 다음과 같은 공식이 나오지만, 잘못된 것이다.

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3\binom{2n}{n}}=-\frac{\zeta(3)}{3}-\frac{\pi\sqrt{3}}{72}(\psi^{(1)}(\frac{1}{3})-\psi^{(1)}(\frac{2}{3}))$

바른 공식은 다음과 같다.

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3\binom{2n}{n}}=\frac{\pi\sqrt{3}}{18}(\psi^{(1)}(\frac{1}{3})-\psi^{(1)}(\frac{2}{3}))-\frac{4}{3}\zeta(3)$

여기서 $\psi^{(1)}$ 는 트리감마(trigamma)함수. 트리감마 함수(trigamma function)항목 참조

수학용어번역

단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
발음사전 http://www.forvo.com/search/
대한수학회 수학 학술 용어집
- http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
남·북한수학용어비교
대한수학회 수학용어한글화 게시판

사전 형태의 자료

http://ko.wikipedia.org/wiki/
http://en.wikipedia.org/wiki/Central_binomial_coefficient
http://math world.wolfram.com/CentralBinomialCoefficient.html
http://mathworld.wolfram.com/BinomialSums.html
http://www.wolframalpha.com/input/?i=
NIST Digital Library of Mathematical Functions
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

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