중심이항계수(central binomial coefficient)

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개요

 

 

 

중심이항계수의 근사식

동전을 2n 번 던질때, 앞뒷면이 각각 n 번 나올 확률은 수학적으로 다음과 같다.

\frac{1}{2^{2n}}{2n\choose n} = \frac{1}{2^{2n}}{{(2n)!} \over {n!n!}}

한편 월리스의 공식에서 일반항은 다음과 같은데,

p_n ={1\over{2n+1}}\prod_{k=1}^{n} \frac{(2k)^4 }{((2k)(2k-1))^2}={1\over{2n+1}}\cdot {{2^{4n}\,(n!)^4}\over {((2n)!)^2}}

따라서

p_n ={1\over{2n+1}}\cdot {{2^{4n}\,(n!)^4}\over {((2n)!)^2}} \approx {1\over{2n}}\cdot {{2^{4n}\,(n!)^4}\over {((2n)!)^2}}

이는 월리스의 공식을 다음과 같은 방식으로도 쓸 수 있다는 것을 말해준다.

\frac{\pi}{2} =\lim_{n \to \infty} {1\over{2n}}\cdot {{2^{4n}\,(n!)^4}\over {((2n)!)^2}}
그리고 이는 다음을 말해준다.

\frac{1}{2^{2n}}{{(2n)!} \over {n!n!}}= \frac{1}{2^{2n}}{2n\choose n} \approx \frac{1}{\sqrt{\pi n}}

 

 

 

급수와 중심이항계수

 

 

 

 중심이항계수가 나타나는 급수

 

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\binom{2n}{n}}=\frac{\pi\sqrt{3}}{9}

(증명)

 \frac{2x \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n\binom{2n}{n}} 에서 x=\frac{1}{2}인 경우, \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\binom{2n}{n}}=\frac{\pi\sqrt{3}}{9} 를 얻는다. ■

 

 

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}\binom{2n}{n}}=\frac{\pi^2}{18}

(증명)

 2(\arcsin x)^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}에서 x=\frac{1}{2}인 경우, \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}\binom{2n}{n}}=\frac{\pi^2}{18} 를 얻는다. ■

 

 

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3\binom{2n}{n}}=\frac{2\pi}{3}\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{3})-\frac{4}{3}\zeta(3)=\pi\operatorname{Cl}_2(\frac{2\pi}{3})-\frac{4}{3}\zeta(3)=\frac{\pi\sqrt{3}}{18}(\psi^{(1)}(\frac{1}{3})-\psi^{(1)}(\frac{2}{3}))-\frac{4}{3}\zeta(3)

여기서 \operatorname{Cl}_2(\theta) 는 로바체프스키와 클라우센 함수, \psi^{(1)}는 트리감마 함수(trigamma function).

(증명)

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A145438

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3\binom{2n}{n}}=4\int_{0}^{\frac{1}{2}}(\arcsin x)^2}\frac{dx}{x}=-2\int_{0}^{\pi/3}x\log(2\sin \frac{x}{2})\,dx

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+(arcsin+x)^2/x+dx+from+x%3D0+to+1/2

 

좌변 http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+1%2F%28m%5E3*binom%282m%2Cm%29%29+from+1+to+infinity

우변 http://www.wolframalpha.com/input/?i=-4*zeta(3)/3%2Bpi*sqrt(3)*(trigamma(1/3)-trigamma(2/3))/18

■

 

 

(Comtet의 공식)

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}=\frac{17\pi^4}{3240}

 

(증명)

2(\arcsin x)^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}} 의 양변을 2x로 나눈뒤, 다음과 같은 적분을 구하자.

\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{u}\frac{(\arcsin x)^2}{x}\,dx\,\frac{du}{u}=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{u}\frac{(2x)^{2n-1}}{n^2\binom{2n}{n}}\,dx\,\frac{du}{u}=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{(2u)^{2n}}{4n^3\binom{2n}{n}}\,\frac{du}{u}

우변으로부터 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{8n^4\binom{2n}{n}}을 얻는다.

 

한편

\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{u}\frac{(\arcsin x)^2}{x}\,dx\,\frac{du}{u}=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{x}^{\frac{1}{2}}\frac{(\arcsin x)^2}{xu}\,du\,dx=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\log 2x\frac{(\arcsin x)^2}{x}\,dx 이므로,

 x=\sin\frac{t}{2}로 치환하면,

\int_{0}^{\frac{1}{2}}\log 2x\frac{(\arcsin x)^2}{x}\,dx=\frac{1}{4}\int_{0}^{\pi/3}x\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx  를 얻는다.

따라서,

\frac{1}{8}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}=\frac{1}{4}\int_{0}^{\pi/3}x\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx 이다.

이제 로그 사인 적분 (log sine integrals) 에서 얻은 다음 결과를 사용하자.

\int_{0}^{\pi/3}x\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx=\frac{17\pi^4}{6480}

 

 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}=\frac{17\pi^4}{3240} 를 얻는다. ■

 

원주율의 유리수 근사와 중심이항계수

 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\frac{\pi}{2}+1

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\pi+3

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\frac{7\pi}{2}+11

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^3 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\frac{35\pi}{2}+55

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^4 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=113\pi+355

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{5} 2^{n}}{\binom{2n}{n}} = \frac{1787\pi}{2}+2807

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{6} 2^{n}}{\binom{2n}{n}} = \frac{16717\pi}{2}+26259

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{10} 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=229093376\pi+719718067

 http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+1%2F%28m%5E3*binom%282m%2Cm%29%29+from+1+to+infinity

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+m^6*2^m/(binom(2m,m))+from+1+to+infinity

일반적으로 k\in\mathbb{N}에 대하여,

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{k} 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=a\pi+b , (a와 b는 유리수) 형태로 주어진다. [Lehmer1985] 참조

 

 

 

리만제타함수

\zeta(2)=3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}\binom{2n}{n}}

\zeta(3) = \frac{5}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^3\binom{2n}{n}}

\zeta(4) = \frac{36}{17} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}

 

 

재미있는 사실

 

 

 

역사

 

 

 

메모

[Lehmer1985]

에는 다음과 같은 공식이 나오지만, 잘못된 것이다.

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3\binom{2n}{n}}=-\frac{\zeta(3)}{3}-\frac{\pi\sqrt{3}}{72}(\psi^{(1)}(\frac{1}{3})-\psi^{(1)}(\frac{2}{3}))

바른 공식은 다음과 같다.

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3\binom{2n}{n}}=\frac{\pi\sqrt{3}}{18}(\psi^{(1)}(\frac{1}{3})-\psi^{(1)}(\frac{2}{3}))-\frac{4}{3}\zeta(3)

여기서 \psi^{(1)}는 트리감마(trigamma)함수. 트리감마 함수(trigamma function)항목 참조

 

 

관련된 항목들

 

 

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