ζ(4)와 슈테판-볼츠만 법칙

$\zeta(4) = \frac{36}{17} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}$

(증명)

$2(\sin^{-1} x)^2=\sum_{n=1}^{\finfty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}$

를 이용하여, 다음을 증명할 수 있다

$I=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}=\int_{0}^{1/2}\int_{0}^{u}(\sin^{-1} x)^2\frac{dx}{x}\frac{du}{u}$

한편

$I=\int_{0}^{1/2}\int_{0}^{u}(\sin^{-1} x)^2\frac{dx}{x}\frac{du}{u}=2\int_{0}^{\pi/3}x\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx=\frac{17\pi^4}{3240}$ ■

흑체의 온도와 복사 에너지의 관계에 대한 슈테판-볼츠만 법칙의 유도과정에는 $\zeta(4)$ 의 계산이 등장함.

$\int_0^\infty \frac{\nu^3}{ e^{\frac{h\nu}{kT}}-1} d\nu$
상수를 제외하면 다음과 같은 적분

$\int_{0}^{\infty}\frac{x^{3}}{e^x-1}dx=\Gamma(4)\zeta(4)=\frac{\pi^4}{15}$
더 일반적으로 다음과 같은 적분을 할 수 있음.

$\int_{0}^{\infty}\frac{x^{n}}{e^x-1}dx=\int_{0}^{\infty}{x^{n}(e^{-x}+e^{-2x}+e^{-3x}+}e^{-4x}+e^{-5x}+\cdots)dx=\Gamma(n+1)\zeta(n+1)$

$\int_{0}^{\infty}{x^{n}e^{-kx}dx=\frac{\Gamma(n+1)}{k^{n+1}}$
푸리에 변환 항목의 멜린변환 참조

자코비 세타함수 를 이용하여 리만제타함수를 해석적으로 확장하는 것과의 유사성

$\xi(s) : = \pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)= \int_0^\infty (\frac{\theta(it)-1}{2})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}$
슈테판-볼츠만 법칙을 유도하는 과정에서 나오는 적분의 경우

$\int_{0}^{\infty}\frac{1}{e^t-1}t^s\frac{dt}{t}=\int_{0}^{\infty}{t^{s-1}(e^{-t}+e^{-2t}+e^{-3t}+}e^{-4t}+e^{-5t}+\cdots)dt=\Gamma(s)\zeta(s)$
$\psi(t)=i \cot \frac{t}{2}$ 로 두면, $\frac{\psi(it)-1}{2}=\frac{1}{e^t-1}$

$\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {\frac {e^x + e^{-x}} {2}} {\frac {e^x - e^{-x}} {2}} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} = i \cot ix$ 참고

$\int_{0}^{\infty}(\frac{\coth t/2-1}{2})t^s\frac{dt}{t}=\Gamma(s)\zeta(s)$

$\int_{0}^{\infty}(\frac{\coth t-1}{2})t^s\frac{dt}{t}=2^{-s}\Gamma(s)\zeta(s)$

단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
발음사전 http://www.forvo.com/search/
대한수학회 수학 학술 용어집
- http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
남·북한수학용어비교
대한수학회 수학용어한글화 게시판

http://ko.wikipedia.org/wiki/
http://en.wikipedia.org/wiki/
http://www.wolframalpha.com/input/?i=
NIST Digital Library of Mathematical Functions
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=