조화수열과 조화급수

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개요

\gamma=0.577215664901532860606512090\cdots

 

 

근사 공식

 

 

 

 

성질

H_{n-1}=H_n-\frac{1}{n}

H_{n-1}^2=(H_n-\frac{1}{n})^2=H_n^2+\frac{1}{n^2}-\frac{2H_n}{n}

 

 

생성함수

\sum_{n=1}^\infty H_nz^n = \frac {-\ln(1-z)}{1-z}

 

 

생성함수의 응용

\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n+1}z^{n+1} =\frac{1}{2}\log^2(1-z)

\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n}z^n =\operatorname{Li}_2(z)+\frac{1}{2}\log^2(1-z)

 

z=e^{it}, 0 \leq t \leq \pi 에서 

위 식의 실수부를 취하면, 각각 다음 식을 얻는다.

\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n+1}\sin (n+1)t=\frac{1}{2}(t-\pi)\log(2\sin\frac{t}{2})

\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n}\sin nt=\operatorname{Cl}_2(t)+\frac{1}{2}(t-\pi)\log(2\sin\frac{t}{2})

로바체프스키와 클라우센 함수

 

 

 

 

조화수열과 급수

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_n^2}{(n+1)^2}=\frac{11\pi^4}{360}

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_n^2}{n^2}=\frac{17\pi^4}{360}

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_n}{n^3}=\frac{\pi^4}{72}

 

 

역사

 

 

 

메모

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