더블감마함수와 Barnes G-함수

Edit

이 항목의 스프링노트 원문주소

개요

더블 감마함수의 역수로 정의되는 함수
성질

$G(s+1) =\Gamma(s)G(s)$
자연수 n에 대하여 다음이 성립한다

$G(n)=(n-1)!\times (n-2)! \times\cdots 2!\times 1!$

근사식

$\log G(z+1)=\frac{1}{12}~-~\log A~+~\frac{z}{2}\log 2\pi~+~\left(\frac{z^2}{2} -\frac{1}{12}\right)\log z~-~\frac{3z^2}{4}~+~ \sum_{k=1}^{N}\frac{B_{2k + 2}}{4k\left(k + 1\right)z^{2k}}~+~O\left(\frac{1}{z^{2N + 2}}\right)$

여기서 A는 Glaisher–Kinkelin 상수 $A= e^{\frac{1}{12}-\zeta^\prime(-1)}= 1.28242712\dots$

스털링 공식

special values

A는 Glaisher–Kinkelin 상수

$G(\frac{1}{2})=2^{\frac{1}{24}}\cdot \pi^{-\frac{1}{4}}\cdot e^{\frac{1}{8}}\cdot A^{-\frac{3}{2}}$

$G(\frac{3}{4})=2^{-\frac{1}{8}}\cdot \pi^{-\frac{1}{4}}\cdot e^{\frac{1}{8}}\cdot A^{-\frac{3}{2}}$ 또는 $G(\frac{3}{4})=2^{-\frac{1}{8}}\cdot \pi^{-\frac{1}{4}}\cdot e^{\frac{3}{32}+\frac{G}{4\pi}}\cdot A^{-\frac{9}{8}}\cdot \Gamma(\frac{1}{4})^{\frac{1}{4}}$

로그 삼각함수 적분과의 관계

$\int_{0}^{t}\pi u \cot \pi u\,du=t\log {2\pi}+\log \frac{G(1-t)}{G(1+t)}$

$\int_{0}^{t}\log(\sin \pi u)\,du=t\log(\frac{\sin \pi t}{2\pi})+\log \frac{G(1+t)}{G(1-t)}$

재미있는 사실

Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=

역사

http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
수학사연표

메모

History

Last edited on 07/16/2010 19:29 by 피타고라스

Comments (0)

Previous Next

Header

수학이 알고싶은 중고대딩들을 위한 수학 노트

home

All Pages

Updates

더블감마함수와 Barnes G-함수

이 항목의 스프링노트 원문주소

개요

근사식

special values

로그 삼각함수 적분과의 관계

재미있는 사실

역사

메모

관련된 항목들

수학용어번역

사전 형태의 자료

관련논문

관련도서

관련기사

블로그

History

Comments (0)

Bookmarks

What is a bookmark?

Header

수학이 알고싶은 중고대딩들을 위한 수학 노트

home

All Pages

Updates

더블감마함수와 Barnes G-함수

이 항목의 스프링노트 원문주소

개요

근사식

special values

로그 삼각함수 적분과의 관계

재미있는 사실

역사

메모

관련된 항목들

수학용어번역

사전 형태의 자료

관련논문

관련도서

관련기사

블로그

History

Linked Page

Comments (0)

Create a new page

Change the location

Preview Template

Send a message to Members

Invite others to your Group Notebook

Bookmarks

What is a bookmark?

Please confirm your email address