더블감마함수와 Barnes G-함수

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개요

 

 

근사식

\log G(z+1)=\frac{1}{12}~-~\log A~+~\frac{z}{2}\log 2\pi~+~\left(\frac{z^2}{2} -\frac{1}{12}\right)\log z~-~\frac{3z^2}{4}~+~ \sum_{k=1}^{N}\frac{B_{2k + 2}}{4k\left(k + 1\right)z^{2k}}~+~O\left(\frac{1}{z^{2N + 2}}\right)

여기서 A는 Glaisher–Kinkelin 상수 A= e^{\frac{1}{12}-\zeta^\prime(-1)}= 1.28242712\dots

 

 

special values

 

 

로그 삼각함수 적분과의 관계

\int_{0}^{t}\pi u \cot \pi u\,du=t\log {2\pi}+\log \frac{G(1-t)}{G(1+t)}

\int_{0}^{t}\log(\sin \pi u)\,du=t\log(\frac{\sin \pi t}{2\pi})+\log \frac{G(1+t)}{G(1-t)}

 

 

 

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